01 赏析数列与函数，不等式的交汇问题-《中学生数理化》高二数学2024年2月刊

赏析数列与函数、不等式的交汇问题 ■河北省张家口市第一中学 陈荣荣 数列是以正整数为自变量的一类特殊函 数,也是高中数学中的重要内容之一。借助 数列的函数特性解决数列问题,在一定程度 上能简化运算。通过构造函数,利用函数的 定义、图像、性质解决数列问题,对解决数列 通项、数列最值等问题有重要的作用。下面 从两个方面谈一谈数列与函数、不等式的交 汇问题。 一、数列与函数综合问题的主要类型及 求解策略 ①已知函数条件,解决数列问题,一般利 用函数的性质、图像研究数列问题。 ②已知数列条件,解决函数问题,一般要 利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方 法等对式子化简变形。 注意数列与函数的不同,数列只能看作 自变量为正整数的一类函数,在解决问题时 要注意这一特殊性。 例 1 数列{an}满足an+1= 1+an 1-an , a1=2,n∈N*,若Tn=a1·a2·…·an,n∈ N*,则T10= 。 解析:因为a1=2,an+1= 1+an 1-an ,所以 a2= 1+a1 1-a1 =-3,a3= 1+a2 1-a2 =- 1 2 ,a4= 1+a3 1-a3 = 1 3 ,a5= 1+a4 1-a4 =2=a1,数列{an}是 周期为4的周期数列。 又因为 T4=a1a2a3a4=2×(-3)× - 1 2 ×13=1,所以 T10=(a1a2a3a4)· (a5a6a7a8)· (a9a10)= (a1a2a3a4)· (a1a2a3a4)·(a1a2)=1×1×2×(-3)= -6。 点评:已知数列的递推关系式,并观察到 项的值具有跳跃性,通常不必求通项公式,应 探究是否有周期性规律。如果能从数列的实 质———函数的角度探究周期性规律,就更切 合问题的本质,从而把握规律,轻松求解。 解决数列周期性问题的方法:根据给出 的关系式求出数列的若干项,通过观察归纳 出数列的最小正周期,进而求有关项的值或 者前n项的和或积。 例 2 已知数列{an}的前n 项和为 Sn,a1=2,对任意的正整数n,点(an+1,Sn)均 在函数f(x)=x 的图像上。 (1)证明:数列{Sn}是等比数列; (2)问{an}中是否存在不同的三项能构 成等差数列,并说明理由。 解析:(1)对任意的正整数n,点(an+1, Sn)均在函数f(x)=x 的图像上,可得Sn= an+1=Sn+1-Sn,即Sn+1=2Sn。 因为a1=2,所以S1=a1=2。 因此,数列{Sn}是首项为2,公比为2的 等比数列。 (2)不存在。 由(1)得Sn=2·2n-1=2n。 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1= 2n-1。 又因为a1=2,所以an= 2,n=1, 2n-1,n≥2。 易知a1=a2,且从第二项起数列{an}严 格单调递增。 假设存在2≤m<n<p,使得am,an,ap 成等差数列,可得2an=am +ap,即2n= 2m-1+2p-1。 两边同除以2m-1,可得2n+1-m=1+2p-m。 因为2n+1-m 是偶数,1+2p-m 是奇数,所 以2n+1-m ≠1+2p-m。 因此,假设不成立,即{an}中不存在不同 的三项能构成等差数列。 点评:本题借助函数关系研究数列问题, 其本质仍是一个数列问题,通过函数的图像 3 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年2月 得出数列的递推关系,从而利用数列问题的 研究方法进行解决。 二、数列与不等式综合问题的求解策略 解决数列与不等式的综合问题时,若是 证明题,则要灵活选择不等式的证明方法,如 比较法、综合法、分析法、放缩法等;若是含参 数的不等式恒成立问题,则可分离参数,转化 为研究最值问题来解决。 解恒成立问题常用到的方法是: a>F(n)恒成立⇔a>F(n)max;a< F(n)恒成立⇔a<F(n)min。 例 3 (2023年重庆巴南区一模)已知 等比数列{an}满足:a1+a2=20,a2+a3= 80。数列{bn}满足bn=log2 an(n∈N*),其 前n项和为Sn,若 bn Sn+8 ≤λ恒成立,则λ的 最小值为 。 解析:设等比数列{an}的公比为q,则 a2+a3=q(a1+a2)=20q=80,解得q=4。 所以a1+a2=a1+a1q=5a1=20,解得 a1=4,故an=a1qn-1=4n。 因此,bn=log2 an=log2 4n=2n。 因为bn+1-bn=2(n+1)-2n=2,所以 数列{bn}是等差数列。 Sn= n(b1+bn) 2 = n(2n+2) 2 =n (n+1)。 bn Sn+8 = 2n n2+8+n = 2 n+ 8 n+1 。 易知函数y=x+ 8 x+1 在(0,22)上单