18 平面向量及其应用常见典型考题赏析-《中学生数理化》高一数学2024年2月刊

■张文伟 王国平(特级教师) 平面向量是每年高考的必考点,高考对 平面向量的考查主要有两个方面:一是考查 平面向量的概念与数量积运算;二是考查平 面向量与其他知识的综合应用。下面就平面 向量中的常见典型考题进行举例分析,供同 学们学习与提高。 题型1:平面向量的基本概念 平行向量有关概念的四个关注点:非零 向量的平行具有传递性;共线向量即为平行 向量,它们均与起点无关;向量可以平移,平 移后的向量与原向量是相等向量;a |a| 是与a 同方向的单位向量。 例1 (多选题)下列说法中正确的是 ( )。 A.单位向量都相等 B.任一向量与它的相反向量不相等 C.若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等, 与方向无关 D.若a与b是相反向量,则|a|=|b| 解:对于A,单位向量的方向不同,不一 定相等,A错误。对于B,0的相反向量为0, B错误。对于C,|a|=|b|,则a与b的长度 相等,与方向无关,C正确。对于D,相反向 量是长度相等,方向相反的向量,D正确。应 选CD。 跟踪训练1:(多选题)下列命题中正确 的是( )。 A.向量 AB→ 的长度与向量BA→ 的长度 相等 B.向量a与b 平行,则a 与b 的方向相 同或相反 C.两个有共同起点且相等的向量,其终 点必相同 D.两个终点相同的向量,一定是共线向量 提示:对于A,向量AB→ 与向量BA→ 的长 度相等,方向相反,A正确。对于B,向量a 与b平行,当a 或b 为零向量时,不满足条 件,B错误。对于C,两个有共同起点且相等 的向量,其终点也相同,C正确。对于 D,两 个终点相同的向量,不一定是共线向量,D错 误。应选AC。 题型2:向量加、减法的几何意义 应用三角形法则求两个向量和时,应注 意“首尾顺次相连,起点指向终点”,即首尾相 连的两个向量的和对应的向量是第一个向量 的起点指向第二个向量的终点。平行四边形 法则只适用于求不共线的两个向量的和。向 量的差简记为“共起点,连终点,指向被减”。 例2 已知单位向量e1,e2,…,e2023,则 |e1+e2+…+e2023|的最大值是 ,最小值 是 。 解:当单位向量e1,e2,…,e2023 方向相同 时,|e1+e2+…+e2023|取得最大值,则最大 值为|e1+e2+…+e2023|=|e1|+|e2|+… +|e2023|=2023。当单位向量e1,e2,…, e2023 首尾相连时,e1+e2+…+e2023=0,则 |e1+e2+…+e2023|的最小值为0。 跟踪训练2:五角星是指有五个尖角,并 以五条直线画成的星星图形,有许多国家的 国旗设计都包含五角星,如中华人民共和国 国旗。如图1,在正五角星中,每个角的角尖 为36°,则下列说法正确的是( )。 图1 A.CH→+ID→=0 B.AB→∥FE→ C.AF→+FG→=2HG→ 24 经典题突破方法 高一数学 2024年2月 D.AF→=AB→+AJ→ 提示:由图可知 CH 与ID 相交,所以 CH→ 与ID→ 不是相反向量,A 错误。AB→ 与 DE→ 共线,DE→ 与FE→ 不共线,所以AB→ 与FE→ 不共线,B错误。AF→+FG→=AG→≠2HG→,C 错误。连接BF,JF,由五角星的性质可知四 边形ABFJ 为平行四边形,根据平行四边形 法则得AF→=AB→+AJ→,D正确。应选D。 题型3:向量的线性运算 这类问题要注意两点:向量求和用平行 四边形法则或三角形法则;向量求差用向量 减法的几何意义。 例3 在△ABC 中,点 D 在边AB 上, BD=2DA。记CA→=m,CD→=n,则BC→ 等于 ( )。 A.3m-2n B.-2m+3n C.3m-2n D.2m-3n 解:因为 BD=2DA,所以 AB→=3AD→, 所以 BC→=BA→+AC→ = -3AD→ +AC→ = -3(CD→-CA→)-CA→=2CA→-3CD→=2m- 3n。应选D。 跟踪训练3:P 是△ABC 所在平面上一 点,满足PA→+PB→+PC→=2AB→,△ABC 的面 积是S1,△PAB 的面积是S2,则( )。 A.S1=4S2 B.S1=3S2 C.S1=2S2 D.S1=S2 提示:由 PA→ +PB→ +PC→ =2AB→ = 2(AP→+PB→),可得3AP→=BC→,所以 AP→∥ BC→,且方向一样。设AP 与BC 的距离为h, 因为S△PAB= 1 2|AP →|·h,S△ABC= 1 2|BC →|· h,又|BC→|=3|AP→|,所以S△PAB= 1 3S△ABC , 即S1=3S2。应选B。 题型4:根据向量线性运算求参数的值 对于这类问题,可以通过向