17 例析平面向量的常考题型-《中学生数理化》高一数学2024年2月刊

■齐久国 平面向量是历年高考的常考点,因此同 学们要重视常考题型,要学会归纳解题方法。 下面就平面向量的常考题型进行实例分析, 希望对同学们的学习有所启示。 题型一:平面向量的概念 掌握平面向量中的几个重要概念,如零 向量,单位向量,相等向量,平行向量等,理解 向量的几何意义。 例1 下列命题不正确的是( )。 A.零向量是唯一没有方向的向量 B.零向量的长度等于0 C.若a,b 都为非零向量,则使 a a + b b =0 成立的条件是a与b反向共线 D.若a=b,b=c,则a=c 详解:零向量是有方向的,其方向是任意 的,A错误。由零向量的定义知,零向量的长 度为0,B正确。 a a 与 b b 都是单位向量, 当 a a 与 b b 是相反向量,即a与b反向共线 时,a a + b b =0 才成立,C正确。由向量 相等的定义知D正确。应选A。 例2 下列各命题中,正确的是( )。 A.若 a = b ,则a=b或a=-b B.(a·b)·c=a·(b ·c) C.长度不相等而方向相反的两个向量一 定是平行向量 D.若 a > b ,则a>b 详解:对于A,若 a = b ,则a,b的方 向无法确定,A错误。对于B,(a·b)·c= |a||b|cos<a,b>·c表示与c共线的一个向 量,a·(b·c)=a·|b||c|cos<b,c>表示与 a共线的一个向量,但a 与c不一定共线,B 错误。对于C,长度不相等而方向相反的两 个向量一定是平行向量,C正确。对于D,若 a > b ,则向量a,b 不能比较大小,D错 误。应选C。 题型二:平面向量的运算 掌握向量的模和向量夹角的定义,以及 夹角公式,会用平行四边形法则、三角形法则 进行向量的加减运算,弄清平面向量的数量 积与向量投影的关系,并理解其几何意义。 例3 下列各式中不能化简为AD→ 的是 ( )。 A.MB→+AD→+BM→ B.AD→+MB→+BC→+CM→ C.AB→+CD→+BC→ D.OA→-OC→+CD→ 详解:对于A,MB→+AD→+BM→=MB→+ BM→+AD→=AD→,A 正 确。对 于 B,AD→+ MB→+BC→+CM→=AD→+ MB→+BC→+CM→ = AD→,B 正 确。对 于 C,AB→+CD→+BC→= AB→+BC→+CD→=AD→,C 正 确。对 于 D, OA→-OC→+CD→=CA→+CD→,D错误。应选D。 例4 已知非零向量a,b,则下列命题错 误的是( )。 A.|a·b|≤|a||b| B.|a+b|≤|a|+|b| C.与非零向量a共线的单位向量为 a a D.记 b b =e ,则向量a在向量b上的投 影向量为 a·e e 详解:对于 A,因为a·b=|a||b|· 04 经典题突破方法 高一数学 2024年2月 cos<a,b>,所以|a·b|≤ a b 成立,A正 确。对于B,当a,b不共线时,由向量加法的 三角形法则,可得|a+b|<|a|+|b|;当a,b 反向共线时,可得|a+b|=||a|-|b||< |a|+|b|;当a,b 同向共线时,可得|a+b| =|a|+|b|。综上可得,a+b ≤ a + b ,B正确。对于C,与非零向量a 共线的 单位向量为± a a ,C错误。对于D,由 b b =e,可得<a,b>=<a,e>,所以向量a 在向量 b上的投影向量为 acos<a,b>e= a·e e, D正确。应选C。 题型三:平面向量基本定理及坐标表示 平面向量基本定理是平面向量正交分解 及坐标表示的基础,理解平面向量基本定理, 学会利用向量的坐标进行加、减和数乘运算, 以及向量共线的运算。 例5 已知向量 OA→=(1,1),将向量 OA→ 绕原点O 逆时针旋转90°得到向量OB→, 将向量OA→ 绕原点O 顺时针旋转135°得到 向量OC→,则下列选项错误的是( )。 A.OA→+OB→+OC→=0 B.BC→ = CA→ C.OA→·OB→=0 D.CA→·AB→=-2 详解:已知向量OA→= 1,1 ,将向量OA→ 绕原点O 逆时针旋转90°得到向量 OB→,则 OB→= -1,1 ,将向量OA→ 绕原点O 顺时针 旋转135°得到向量OC→,则OC→= 0,- 2 。 对于A,OA→+OB→+OC→= 0,2- 2 ,即 OA→+OB→+OC→ ≠0,A 错 误。对 于 B,由 BC→=OC→-OB→= 0,- 2 -(-1,1)= 1,-1- 2 ,CA→=OA→-OC→=(1,1)- 0,- 2 = 1,1+ 2 ,可 得 BC→ = 12+ -1- 2 2 = 4+22, CA→ = 12+