15 2023年高考平面向量问题聚焦-《中学生数理化》高一数学2024年2月刊

■郭梅红 2023年高考对平面向量的考查主要围 绕“向量的线性运算、向量平行或垂直的条 件、向量的数量积运算、向量加减法的几何意 义,以及数量积的最值或范围”等问题展开, 凸显利用向量“数与形”双重身份求解问题的 数学素养。 聚焦1:向量平行或垂直条件的应用 例1 (2023年高考全国卷)已知向量 a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+ μb),则( )。 A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1 解:根据向量的坐标运算求出a+λb, a+μb,再根据向量垂直求解。因为a=(1, 1),b=(1,-1),所以a+λb=(1+λ,1-λ), a+μb=(1+μ,1-μ)。 由(a+λb)⊥(a+μb),可得(a+λb)·(a +μb)=0,即(1+λ)·(1+μ)+(1-λ)(1- μ)=0,整理得λμ=-1。应选D。 体验:高考对平面向量主要考查平面向 量的数量积和向量的线性运算。需要注意的 是,向量在新教材中增加了投影向量和投影 数量,同学们应引起重视。 变式1:已知向量a=(3,1),b=(1,0), c=a+kb。若a⊥c,则k= 。 提示:(方法1)由a=(3,1),b=(1,0), 可得c=a+kb=(3+k,1)。 因为a⊥c,所以a·c=3(3+k)+1=0, 解得k=- 10 3 。 (方法2)由a=(3,1),b=(1,0),可得 a2=10,a·b=3。 因为a⊥c,所以a·c=a·(a+kb)= a2+ka·b=10+3k=0,解得k=- 10 3 。 聚焦2:向量的线性表示 例2 (2023年高考天津卷)在△ABC 中,∠A=60°,BC=1,点 D 为AB 的中点, 点E 为CD 的中点,若 AB→=a,AC→=b,则 AE→ 可用a,b表示为 。 解:因为E 为CD 的中点,D 为AB 的中 点,所以 AE→=12(AD →+AC→)=12 1 2AB →+ AC→ =14AB→+12AC→=14a+12b。 体验:如果e1,e2 是同一平面内的两个 不共线向量,那么对于这一平面内的任意向 量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+ λ2e2。向量 线 性 运 算 常 见 的 四 个 结 论:若 OA→=λOB→+μOC→(λ,μ 为实数),且A,B,C 三点共线,则λ+μ=1;若P 为线段AB 的中 点,O 为平面内任一点,则 OP→=12(OA →+ OB→);在△ABC 中,PA→+PB→+PC→=0⇔P 为△ABC 的重心;若G 是△ABC 的重心,则 AG→=13(AB →+AC→)。 变式2:在△ABC 中,点D 在边AB 上, BD=2DA。记 CA→=m,CD→=n,则 CB→= ( )。 A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 提示:因 为 点 D 在 边 AB 上,BD = 2DA,所以BD→=2DA→,即CD→-CB→=2(CA→ -CD→),所以CB→=3CD→-2CA→=3n-2m= -2m+3n。应选B。 聚焦3:向量的数量积问题 例3 (2023年 高 考 全 国 卷)正 方 形 ABCD 的 边 长 是 2,E 是 AB 的 中 点,则 EC→·ED→=( )。 A.5 B.3 C.25 D.5 63 创新题追根溯源 高一数学 2024年2月 解:(方法1)以 AB→,AD→ 为一组基底向 量表示EC→,ED→,再结合数量积的运算求解。 已知 AB→ = AD→ =2,AB→·AD→=0。因 为EC→=EB→+BC→=12AB →+AD→,ED→=EA→ +AD→=-12AB →+AD→,所以 EC→·ED→= 1 2AB →+AD→ · -12AB→+AD→ =-14AB→2+ AD→ 2 =-1+4=3。应选B。 (方法2)利用平面向量的坐标运算求 解。以A 为坐标原点,AB 为x 轴,建立平面 直角坐标系 Axy(图略),则 E(1,0),C(2, 2),D(0,2),可得EC→=(1,2),ED→=(-1, 2),所以EC→·ED→=-1+4=3。应选B。 (方法3)利用余弦定理求cos∠DEC,再 结合数量积的定义求解。由题意得 ED= EC= 5,CD=2,在△CDE 中,由余弦定理 得cos∠DEC= ED2+EC2-CD2 2ED·EC = 3 5 ,所以 EC→·ED→= EC→ ED→ cos∠DEC= 5× 5× 3 5=3 。应选B。 体验:向量的数量积有两种运算,即a· b= a bcos<a,b>=x1x2+y1y2。规定零 向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0。 变式3:已知向量a