12 转化思想在平面向量中的应用-《中学生数理化》高一数学2024年2月刊

■陈德会 平面向量是高中数学的重要内容之一, 平面向量与三角函数、解三角形、平面解析几 何等都有重要联系。平面向量中也常常需要 用到转化思想,如用基底表示平面向量、极化 恒等式转化求解数量积问题等。下面就转化 思想在平面向量中的应用进行实例分析。 应用一:转化思想在用基底表示平面向 量中的应用 例1 2000多年前,古希腊雅典学派的第 三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割。 所谓黄金分割,指的是把一条线段分割为两部 分,使其中一部分与全长之比等于另一部分与 这部分之比,黄金分割比为 5-1 2 ≈0.618 。 如图1,在矩形ABCD 中,AC 与BD 相交于 点O,BF⊥AC,DH⊥AC,AE⊥BD,CG⊥ BD,且点 E 为线段BO 的黄金分割点,则 BF→=( )。 图1 A. 3- 5 2 BA →+5+ 510 BG → B. 3- 5 2 BA →+5- 510 BG → C. 5-1 2 BA →+5- 510 BG → D. 3- 5 2 BA →+ 55BG → 解:由 题 意 得 BE→= 5-12 BO →。显 然 BE=DG,BO=OD= 1 2BD 。同 理 可 得, AF→= 5-12 AO →,DG→ = 5-12 DO →,所 以 BG→= 2- 5-12 BO→ =5- 52 BO→,所 以 BO→= 2 5- 5 BG→ = 2 5 5-1 BG→。因 为 BF→=BA→+AF→=BA→+ 5-12 AO →=BA→+ 5-1 2 BO →-BA→ =3- 52 BA →+ 5-12 BO →, 所以BF→=3- 52 BA →+ 55BG →。应选D。 思维提升:不难发现,用已知基底表示向 量,通常先找到一组基础的关系,再通过转化 即可用基底表示目标向量。通过本题的解 答,要达到学习一道题,会做一类题的效果。 变式1:如图2,在平行四边形 ABCD 中,BE→= 12BC →,AF→ = 14AE →。若 AB→ = mDF→+nAE→,则m-n=( )。 图2 A. 1 2 B. 3 4 C.- 5 6 D.- 3 8 提示:因为AB→=AE→+EB→=AE→-12BC → =AE→ - 12AD → =AE→ - 12 AF →+FD→ = AE→-12 1 4AE →-DF→ =12DF→+78AE→,又 AB→=mDF→+nAE→,所以m=12,n= 7 8 ,所以 m-n=- 3 8 。应选D。 应用二:转化思想在解决平面向量的系 数和中的应用 例2 如图3,在扇形OAB 中,∠AOB 42 知识结构与拓展 高一数学 2024年2月 =60°,C 为弧AB 上的一个动点。若OC→= xOA→+yOB→,则x+3y 的取值范围是 。 图3 解:过C 分别作OA,OB 的平行线,交 OA,OB 与点 M,N。不妨设扇形所在圆的 半径为1。因为 OC→=OM→+ON→,又 OC→= xOA→+yOB→,所以OM→=xOA→,ON→=yOB→。 由图知x∈[0,1],y∈[0,1]。 将OC→=xOA→+yOB→ 两边平方得1= (xOA→+yOB→)2=x2+2xyOA→·OB→+y2= x2+xy+y2,所以y2+x·y+x2-1=0。 显 然 Δ = 4 - 3x2 > 0,所 以 y = -x+ 4-3x2 2 (y≥0,负值舍去)。故x+ 3y=- 1 2x+ 3 4-3x2 2 。 令函数 f(x)=- 1 2x+ 3 4-3x2 2 , x∈[0,1],显然此函数在x∈[0,1]上单调递 减,且f(0)=3,f(1)=1,所以f(x)∈[1, 3],即x+3y 的取值范围是[1,3]。 思维提升:在学习平面向量问题时,经常 会遇到“AP→=mAB→+nAF→(m,n∈R),求 m+n的取值范围”或“AP→=λAB→+μAC→,求 2λ+μ的取值范围”的题型,同学们要重视这 类题型的解法。 变式2:如图4,在正六边形 ABCDEF 中,点P 是△CDE 内(包括边界)的一个动 点,设AP→=λAF→+μAB→(λ,μ∈R),则λ+μ 的取值范围是( )。 图4 A.32 ,4 B.3,4 C.32 ,5 2 D.34,2 提示:在正六边形ABCDEF 中,以直线 FB 为x 轴,线段FB 的中垂线为y 轴,建立 平面直角坐标系Oxy,如图4。令|AB|=2, 则点 A(0,-1),B(3,0),F(- 3,0), C(3,2),E(- 3,2),D(0,3),所以 AF→= (- 3,1),AB→=(3,1)。因为AP→=λAF→+ μAB →,所以AP→=(- 3λ+ 3μ