10 读平面向量中的最值(范围)问题-《中学生数理化》高一数学2024年2月刊

■袁旋峰 平面向量中的最值(范围)问题是高考的 常考点,这类问题涉及平面向量的模、夹角、 数量积,以及相关的参数等。解答这类问题, 要挖掘题目内涵,从平面向量的本质出发,选 取不等式法、图形法、函数法等来参与分析, 进而达到解决相 关 的 最 值(范 围)问 题 的 目的。 一、与平面向量基本定理有关的最值(范 围)问题 例1 如图1所示,在△ABC 中,点 P 满足2BP→=PC→,过点 P 的直线与AB,AC 所在 的 直 线 分 别 交 于 点 M,N,若 AM→= xAB→,AN→=yAC→(x>0,y>0),则x+2y 的 最小值为 。 图1 分析:根据题设条件,利用平面向量的线 性运算,结合基本不等式的性质确定对应的 最值。 解:由题意得 AP→=AB→+BP→=AB→+ 1 3BC →=AB→ + 13 (AC → -AB→)= 23AB → + 1 3AC →。因为AM→=xAB→,AN→=yAC→(x>0, y>0),所以 AP→=23xAM →+13yAN →。由 M, P,N 三点共线,结合平面向量共线定理得 2 3x+ 1 3y =1。利用基本不等式得x+2y= (x+2y) 2 3x+ 1 3y = x3y +4y3x + 43 ≥ 2 x 3y ·4y 3x+ 4 3= 4 3+ 4 3= 8 3 ,当且仅当 x 3y = 4y 3x ,即x=2y 时等号成立,所以x+2y 的最小值为 8 3 。 解决平面向量中的最值 (范围)问题,经常利用参数的 和或积为定值,借助基本不等式确定相应的 最值(范围),这是利用不等式法处理此类问 题最常见的方式。 二、与平面向量的数量积有关的最值(范 围)问题 例2 如图2所示,单位圆O:x2+y2=1 上有两定点A(1,0),B(0,1)及两动点C,D, 且OC→·OD→=12,则CA →·CB→+DA→·DB→ 的最大值是( )。 图2 A.2+ 6 B.2+23 C.6-2 D.23-2 分析:从平面向量自身“形”的结构特征 入手,利用几何图形的直观性,结合平面向量 的线性运算,确定对应数量积的最值。 解:设线段AB 的中点为E,线段CD 的 中点为F,则OA→+OB→=2OE→,OC→+OD→= 2OF→。由OC→·OD→=12,可得|OC →||OD→|· cos∠COD=cos∠COD= 1 2 ,所以∠COD= π 3 ,则△OCD 为等边三角形,所以|OF|= 3 2 。易得|OE|= 2 2 。 所以 CA→·CB→+DA→·DB→=(OA→- OC→)·(OB→-OC→)+(OA→-OD→)·(OB→- 02 知识结构与拓展 高一数学 2024年2月 OD→)=2OA→·OB→+OC→ 2 +OD→ 2 -(OA→+ OB→)·(OC→+OD→)=2-4OE→·OF→≤2+ 4|OE→||OF→|=2+4× 22× 3 2=2+ 6 ,当且 仅当OE→,OF→ 方向相反,即<OE→,OF→>=180° 时等号成立,所以CA→·CB→+DA→·DB→ 的最 大值是2+ 6。应选A。 解决平面向量中的最值 (范围)问题,要结合几何图形的 直观性,利用向量的数量积加以合理转化。 三、与平面向量的模有关的最值(范围) 问题 例3 已知平面向量a,b,c满足|a|= 1,b·c=0,a·b=1,a·c=-1,则|b+c| 的最小值为( )。 A.1 B.2 C.2 D.4 分析:结合向量的数量积,将向量模的问 题转化为与向量的夹角有关的三角函数问 题,利用三角函数的图像与性质进行分析与 处理。 解:由b·c=0,可得|b+c|= b2+c2 =|b-c|。 因为a·b=1,a·c=-1,所以a· (b-c)=2=|b-c|cos<a,b-c>,所以|b- c|= 2 cos<a,b-c>≥2 ,当且仅当<a,b-c>= 0°时等号成立,所以|b+c|=|b-c|≥2,所 以|b+c|的最小值为2。应选C。 解答本题的关键是利用 |b+c|=|b-c|的转化,再结 合三角函数的图像与性质进行放缩处理。 四、与平面向量的创新情境有关的最值 (范围)问题 例4 对于二元函数f(x,y),minx {max y {f(x,y)}}表示f(x,y)先关于y 求最大 值,再关于x 求最小值。已知平面内非零向 量a,b,c 满 足 a⊥b, a·c |a| =2 b·c |b| ,记 f(m,n)= |mc-b| |mc-na| (m,n∈R,且 m ≠0, n≠0),则minm {maxn {f(m,n)}}= 。 分析:根据题设条件,构建平面直角坐标 系,根据平面向量的投影的几何意义判断射 线