09 平面向量常见解题策略-《中学生数理化》高一数学2024年2月刊

■苏向军 池彭军 利用平面向量,可以将平面几何问题转 化为向量运算,进一步转化为代数运算,达到 “以数解形”的目的。在这个转化过程中用到 的解题策略主要有坐标化策略、特殊化策略、 平方策略、基底策略和投影策略等。 一、坐标化策略 例1 如图1,在梯形 ABCD 中,AD∥ BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则 PA→+3PB→ 的最小值为 。 图1 解:以DA,DC 所在直线为坐标轴,建立 坐标系Dxy(如图1)。设DC=m,DP=y, 则点 D(0,0),A(2,0),B(1,m),C(0,m), P(0,y),所以PA→=(2,-y),PB→=(1,m- y),所以 PA→+3PB→=(5,3m-4y),所以 |PA→+3PB→|= 25+ 3m-4y 2 ≥5(当且 仅当3m=4y 时取等号),所以所求的最小值 为5。 评析:解答本题的关键是将向量 PA→+ 3PB→ 的模转化为函数求其最值。利用坐标 系进行转化无疑是最简捷的解法,常见的正 方形、矩形、圆、等腰三角形、直角梯形、菱形 等,都是建系的理想背景。 二、特殊化策略 例2 (1)△ABC 的外接圆圆心为O,垂 心为 H,若向量OH→=m(OA→+OB→+OC→), 则m= 。 (2)已知D 是△ABC 的边BC 上任意一 点,且AD→=λAB→+μAC→(λ,μ∈R),那么λ+ μ= 。 解:(1)不妨设△ABC 为直角三角形,则 其外接圆圆心为斜边的中点O,垂心 H 与C 重合,此时OC→=OH→。因为OA→=-OB→,所 以OA→+OB→+OC→=OC→,所以 OH→=OC→= mOC→,所以m=1。 (2)不妨设D 是△ABC 的边BC 上的中 点,则 AD→=12AB →+12AC →。因 为 AD→= λAB→+μAC→,所以λ+μ=1。 评析:辩证唯物主义原理认为矛盾的普遍 性寓于特殊性之中,并通过特殊性表现出来。 题中取△ABC为直角三角形,以及取D 为BC 的中点,都是运用了矛盾的特殊性原理。 三、平方策略 例3 (1)已知向量a,b 满足 a =3, b =5,a-b =7,则向量a,b 的夹角为 。 (2)已知向量a=(2,1),b=(1,2),当 a+tb 最小时,实数t的值为 。 解:(1)因为 a-b =7,所以 a-b 2= a 2-2a·b+ b 2=49,解 得a·b= - 15 2 ,所以cos<a·b>= a·b |a||b|=- 1 2 。又 <a,b>∈[0,π],故向量a,b的夹角为 2π 3 。 (2)易得 a = b = 5,a·b=4,所以 a+tb 2= a+tb 2= a 2+2ta·b + t2 b 2=5t2+8t+5=5t+ 4 5 2 + 9 5 。由二 次函数的图像知 a+tb 2 的最小值是 9 5 ,所 以 a+tb 的最小值是 35 5 ,此时t=- 4 5 。 评析:求向量的夹角的关键是求出数量 积a·b的值,而“平方式”a-b 2= a 2- 2a·b+ b 2=49正是沟通数量积a·b 的 桥梁。涉及向量模的运算问题,可考虑使用 平方策略,把向量运算转化为数的运算,这体 81 知识结构与拓展 高一数学 2024年2月 现了转化与化归的数学思想。 四、基底策略 例4 如图2,在边长为1的正△ABC 中,已知 BC→=2BD→,CA→=3CE→,则数量积 AD→·BE→= 。 图2 解:以向量 AB→,AC→ 为基底表示AD→ 和 BE→。易得AB→·AC→=12。由BC →=2BD→,可 知D 为BC 的中点,所以 AD→=12(AB →+ AC→)。因为 CA→=3CE→,所以 BE→=BC→+ CE→=AC→-AB→-13AC →=23AC →-AB→,所以 AD→·BE→=12(AB →+AC→)· 23AC →-AB→ = - 1 2 AB → 2+13|AC →|2-16AB →·AC→=-14。 评析:以BC,AD 所在直线为坐标轴建 立直角坐标系也可求解,但不如选取向量 AB→,AC→ 为基底的解法更便捷,可见解答向 量问题“选择合适的基底”的重要性。 五、投影策略 例5 如图3,在正六边形P1P2P3P4P5P6 中,下列向量的数量积中最大的是( )。 图3 A.P1P2→·P1P3→ B.P1P2→·P1P4→ C.P1P2→·P1P5→ D.P1P2→·P1P6→ 解:由向量的数量积的几何意义知,过 P1 分 别 作 向 量 P1S→,P1P3→,P1P4→,P1P5→, P1P6→,P1T→,在P1P2→ 上的投影向量为P1S→, P1P2→,P1P1→,P1T→