07 定理诠释，应用剖析——平面向量基本定理-《中学生数理化》高一数学2024年2月刊

■顾文银 平面向量基本定理是处理平面向量问题 的理论依据,下面就平面向量基本定理的应 用,进行举例剖析。 一、定理诠释 如果e1,e2 是同一平面内两个不共线的 向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有 且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2。 同一平面内的任一向量都可以表示为两 个不共线向量的线性组合,这说明只要选定 一个平面内的两个不共线的向量,那么这个 平面内任何向量都可以用这两个向量表示出 来。 平面向量基本定理中,实数λ1,λ2 的唯 一性是相对于基底e1,e2 而言的。平面内任 意两个不共线向量都可以作为基底。一旦选 定一组基底,则给定向量沿着基底的分解是 唯一的。零向量不能作为基向量。两个非零 向量共线时,不能作为平面的一组基底。 平面向量基本定理与向量共线定理在内 容与表达形式上的区别与联系:在内容及表 达上都是由实数与向量的积推导出的;向量 共线定理是指与a共线的向量都可以表示成 λa的形式;平面向量基本定理是利用两个不 共线向量e1,e2 与实数的积,即λ1e1+λ2e2 表示平面内的任一向量。 二、应用剖析 应用平面向量基本定理,可以处理相关 的概念问题、参数问题、分解问题,以及共线 问题等。 1.概念问题 例1 设O 是平行四边形ABCD 的两 对角线AC,BD 的交点,下列向量组:①AD→ 与AB→,②DA→ 与BC→,③CA→ 与DC→,④OD→ 与 OB→。其中可作为这个平行四边形所在平面 的一组基底的是( ) A.①② B.③④ C.①③ D.①④ 分析:本题主要考查对平面向量基本定 理的理解和掌握,注意作为一组基底的条件。 解:AD→ 与AB→ 为不共线向量,可以作为 基底,CA→ 与DC→ 为不共线向量,可以作为基 底,而DA→ 与BC→,OD→ 与OB→ 为共线向量,不 能作为基底。应选C。 根据平面向量基本定理 可知,作为基底的条件是两个 向量不共线。 2.参数问题 例2 已知向量e1,e2 是平面α 内所有 向量的一组基底,且a=e1+e2,b=3e1- 2e2,c=2e1+3e2,若c=λa+μb(λ,μ∈R), 试求λ,μ的值。 分析:将a=e1+e2 与b=3e1-2e2 代入 c=λa+μb,即用基底e1,e2 表示c,再将所得 的表达式与条件c=2e1+3e2 相结合,可得 λ,μ的方程组,解方程组即得λ,μ的值。 解:将a=e1+e2 与b=3e1-2e2 代入 c=λa+μb,可得c=λ(e1+e2)+μ(3e1- 2e2)=(λ+3μ)e1+(λ-2μ)e2。因为c= 2e1+3e2,且向量e1,e2 是平面α内所有向量 的一组基底,所以根据平面向量基本定理中 的唯一性得方程组 λ+3μ=2, λ-2μ=3, 解得λ=135, μ=- 1 5 。 平面向量基本定理中的 唯一性是建立有关参数的表 达式的理论依据。 3.分解问题 例3 如图1,已知D 为△ABC 的边BC 的中点,E 为中线AD 的中点,BE 延长线交 AC 于点F,求证:AF→=13AC →,FE→=13EB →。 41 知识结构与拓展 高一数学 2024年2月 图1 分析:利用向量法即可证明。由 AF→ 与 AC→ 共线,FE→ 与EB→ 共线,可设 AF→=λAC→, FE→=μEB→,然后通过相关的运算求得λ与μ 的值,即可证得结论。 证明:设 AC→=a,AB→=b,AF→=λAC→= λa,FE→=μEB→(λ,μ∈R),则 AE→=AF→+ FE→=λa+μEB→=λa-μBE→。 易得AE→=12AD →=14(AC →+AB→)=14a+ 1 4b 。因为BE→=12(BD →+BA→)=12 1 2BC →+ BA→ =12 1 2 (BA→+AC→)+BA→ =14AC→+ 3 4BA →=14a- 3 4b ,所以 AE→=λa-μBE→= λa-μ 1 4a- 3 4b = λ-14μ a+34μb。由 a,b不共线,根据平面向量基本定理的唯一 性可知 1 4=λ- 1 4μ , 1 4= 3 4μ , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得λ= 1 3 ,μ= 1 3 ,所 以AF→=13AC →,FE→=13EB →。 解答本题的关键有两点: 一是从两个不同角度分别得 到用a,b表示AE→ 的表达式,二是根据a,b 是两个不共线的向量,可以作为一组基底。 解答向量的分解问题时,选择基底要从具体 问题的特点出发,如果盲目选择基底,可能会 造成比较大的运算量,实际操作时要适当探 索后再选择基底。 4.共线问题 例4 已知向量e1,e2 不共线。 (1)若 AB→=e1+e2,B