04 例说向量的数量积的应用-《中学生数理化》高一数学2024年2月刊

■肖应松 向量的数量积是平面向量的重要性质, 下面就向量的数量积的几种应用,举例分析, 供大家学习与参考。 一、判断充分条件、必要条件 例1 设a,b 是非零向量,“a·b= |a||b|”是“a∥b”的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解:设a与b的夹角为θ。因为a·b= |a||b|cosθ=|a||b|,所以cosθ=1,所以a 与b的夹角为0°,所以a∥b,即充分性成立。 当a∥b 时,a 与b 的夹角为0°或180°,所以 a·b=|a||b|cosθ=±|a||b|,即必要性不 成立。 故“a·b=|a||b|”是“a∥b”的充分不 必要条件。应选A。 评析:充分条件、必要条件的三种判断方 法分别是定义法,等价法,集合法。 二、求投影向量 例2 已知|a|=3,|b|=5,a·b=12,b 方向上的单位向量为e,则向量a在向量b上 的投影向量为 。 解:因为cosθ= a·b |a||b|= 4 5 (θ为a与b 的夹角),所以向量a在向量b上的投影向量 为|a|cosθe= 12 5e 。 评析:任意的非零向量a 在另一非零向 量b上的投影向量等于|a|cosθe(θ为向量 a,b的夹角,e为与b同向的单位向量)。 三、求向量的模 例3 已知|a|=2,|b|=1,向量a,b的 夹角为60°,则向量a-4b的模为( )。 A.2 B.23 C.6 D.12 解:因为|a-4b|2=a2-8a·b+16b2= 22-8×2×1×cos60°+16×12=12,所以 |a-4b|=23。应选B。 评析:|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+ b2;|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2。 四、求参数的值 例4 已知△ABC 中,∠A=120°,且 AB=3,AC=4,若 AP→=λAB→+AC→,且 AP→⊥BC→,则实数λ的值为 。 解:因为AP→=λAB→+AC→,且AP→⊥BC→, 所以AP→·BC→=(λAB→+AC→)·(AC→-AB→) =λAB→·AC→-λAB→ 2 +AC→ 2 -AB→·AC→= (λ-1)AB→·AC→-λAB→ 2 +AC→ 2 =0,可得 (λ-1)×3×4×cos120°-9λ+16=0,即 6(1-λ)-9λ+16=0,解得λ= 22 15 。 评析:若a⊥b,则a·b=0。 五、求三角形的面积 例5 已知点O 是△ABC 内部一点,满 足OA→+OB→+OC→=0,且 AB→·AC→=23, ∠BAC=60°,则△OBC 的面积为 。 解:由 AB→ ·AC→ =|AB→||AC→|· cos∠BAC= 1 2|AB →||AC→|=2 3,可 得 |AB→||AC→|=43,所以S△ABC= 1 2|AB →|· |AC→|sin∠BAC=3。 因为 OA→+OB→+OC→=0,所 以 O 为 △ABC 的重心,所以S△OBC= 1 3S△ABC=1 。 评析:熟记数量积的计算公式和三角形 9 知识结构与拓展 高一数学 2024年2月 重心的性质是解题的关键。 六、判断两个向量的位置关系 例6 已知a,b 是非零向量,当a+tb (t∈R)的模取最小值时,则( )。 A.b=a+tb B.b∥(a+tb) C.b⊥(a+tb) D.b􀱀(a+tb) 解:由 |a +tb| = (a+tb)2 = a2+t2b2+2ta·b= |b|2t2+2a·bt+|a|2, 可知当t=- 2a·b 2|b|2 =- a·b |b|2 时,|a+tb|取 最小值,此时b·(a+tb)=b·a+tb2=a· b+ - a·b |b|2 ·|b|2=a·b-a·b=0,所以 b⊥(a+tb)。应选C。 评析:二次函数y=ax2+bx+c=a· x+ b 2a 2 + 4ac-b2 4a (a>0),当x=- b 2a 时, y 取得最小值 4ac-b2 4a (a>0)。 七、求向量的夹角 例7 设非零向量a,b,c 满足|a|= |b|=|c|,a+b=c,则a 与b 的夹角θ 等 于( )。 A. 5π 6 B. 2π 3 C. π 3 D. π 6 解:由|a|=|b|=|c|,且a+b=c,可得 |a+b|=|b|,平方得|a|2+|b|2+2a·b= |b|2,所以2a·b=-|a|2,所以2|a||b|· cosθ=-|a|2,所以cosθ=- 1 2 。 又0≤θ≤π,所以θ= 2π 3 。应选B。 评析:向量的夹角的取值范围是[0,π]。 求平面向量的夹角的两种方法分别是定义 法,坐标法。 八、判断三角形的形状