专题9.3 用样本估计总体（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

专题9.3 用样本估计总体（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数 (2)能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 用样本估计总体 新课标Ⅱ卷：第4题，5分 全国二卷：第1题，5分 全国一卷：第1题，5分 全国二卷：第15题（1），6分 命题规律分析 1、用样本估计总体 从近三年的高考情况来看，高考对用样本估计总体的考查比较稳定，是每年高考必考内容，多以选择题、填空题的形式出现，考查百分位数、平均数、中位数、众数、方差等知识，难度不大；在解答题中出现时，一般会与其他知识结合考查，综合性强，难度中等，需要灵活求解，复习时要加强对相关知识的理解。 考点1 用样本估计总体 知识点1 用样本估计总体 1．总体百分位数的估计 (1)概念 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. (2)求解步骤 可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数： 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算i=n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 2．频率分布直方图的数字特征 (1)众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一组的组中值来表示，即在样本数据的频率分布直方图中，最高小长方形的底边中点的横坐标； (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等； (3)平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和. 3．总体集中趋势的估计 在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.具体概念回顾如下： 名称 概念 平均数 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么就是这组数据的平均数，用表示，即. 中位数 将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数. 众数 一组数据中出现次数最多的数据（即频数最大值所对应的样本数据）称为这组数据的众数. 4．总体离散程度的估计 (1)方差和标准差 假设一组数据是，用表示这组数据的平均数，则我们称为这组数据的 方差.有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式. 我们对方差开平方，取它的算数平方根，称为这组数据的标准差. (2)总体（样本）方差和总体标准差 ①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则总体方差 . ②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为，其中Yi出 现的频数为fi(i=1，2，…，k)，则总体方差为. 总体标准差：. (3)标准差与方差的统计意义 ①标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. ②在刻画数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差. ③标准差(方差)的取值范围为[0,+∞).若样本数据都相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性，则标准差为0.反之，标准差为0的样本，其中的数据都相等. 5．频率分布直方图中的统计参数 (1)频率分布直方图中的“众数” 根据众数的意义可知，在频率分布直方图中最高矩形中的某个(些)点的横坐标为这组数据的众数.一般用中点近似代替. (2)频率分布直方图中的“中位数” 根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值. (3)频率分布直方图中的“平均数” 平均数是频率分布直方图的“重心”.因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. 【方法技巧与总结】 1．若x1,x2,…,xn的平均数为，那么的平均数为.  2．数据x1,x2,…,xn与数据的方差相等，即数据经过平移后方差不变. 3．若x1,x2,…,xn的方差为s2，那么的方差为a2s2. 【题型1 百分位数的求解】 【例1】（2026·湖北·模拟预测）样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的上四分位数为（   ） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 【答案】C 【解题思路】首先明确上四分位数即第75百分位数，再根据个数据的第百分位数的求法求解即可. 【解答过程】已知样本数据共有10个，上四分位数即第75百分位数，由， 该样本数据是从小到大排列的，故样本数据的上四分位数为第8个数据7. 故选：C. 【变式1-1】（2026·河北唐山·模拟预测）数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的分位数是（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】C 【解题思路】根据百分位数的定义求分位数. 【解答过程】由，结合已知数据从小到大，分位数是第3、4位两个数字的平均数， 所求分位数为. 故选：C. 【变式1-2】（2026·广西·模拟预测）为落实“双碳”目标，某环保组织调研10个国家2024年度的人均碳排放强度（单位：吨/人·年），得到数据如下：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15．则该组数据的30%分位数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解题思路】将已知数据按从小到大的顺序排列，求，结合百分位数定义求结论即可. 【解答过程】数据从小到大为：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15， 又， 所以该组数据的30%分位数是． 故选：A. 【变式1-3】（2026·四川巴中·二模）以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：（单位：分），则这15人成绩的第80百分位数是（    ） A．92 B．92.5 C．93 D．91.5 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用第80百分位数的定义直接求解. 【解答过程】将15人的成绩从小到大排列为：， 由，所以第80百分位数为第12个数与第13个数的平均数，即. 故选：B. 【题型2 平均数、众数、中位数的求解】 【例2】（2026·陕西西安·三模）样本数据的中位数是（    ） A．8 B．8.5 C．9 D．9.5 【答案】B 【解题思路】从小到大排列后，取第四、五个数的平均数可得. 【解答过程】从小到大排列为， 共有8个数，所以中位数为. 故选：B. 【变式2-1】（2026·四川·一模）从小到大排列的一组数据的中位数等于平均数，则（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】C 【解题思路】根据平均数及中位数的定义计算求解即可. 【解答过程】从小到大排列的一组数据的中位数等于平均数， 则，计算得. 故选：C. 【变式2-2】（2026·湖南长沙·一模）对于数据，下列说法错误的是（    ） A．平均数为5 B．众数为6 C．极差为10 D．中位数为6 【答案】D 【解题思路】利用平均数，众数，极差，中位数的意义计算可判断每个选项的正误. 【解答过程】平均数为，故A正确；众数为6，故B正确； 极差为，故C正确；数据的中位数为5，故D错误. 故选：D. 【变式2-3】（2026·江苏扬州·二模）一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10，21，25，35，36，40.若这两组数据的中位数相等，则删除的数为（　　） A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用中位数的定义求解即得. 【解答过程】依题意，新数据组有6个数，其中位数是， 显然原数据组有7个数，因此删除的数是中位数30. 故选：B. 【题型3 频率分布直方图中的平均数、众数、中位数、百分位数】 【例3】（2026·云南·模拟预测）某地区对100名新入职教师技能测试的成绩进行了分析，成绩都在区间内，绘制频率分布直方图如图．则下列结论中不正确的是（   ） A．成绩在的频数为10 B．所有小矩形面积之和为1 C．成绩中位数在区间内 D．成绩平均数在区间内 【答案】D 【解题思路】根据频率分布直方图的小矩形的面积之和为1先求出，根据频率分布直方图性质直接求每个选项即可. 【解答过程】根据频率分布直方图可知：，可得.所以B正确； 成绩在的频数为：，故A正确； 设成绩中位数为， ， 易得中位数在区间内，故C正确； 设成绩平均数为， 而， 平均数在区间内，故D错误. 故选：D. 【变式3-1】（2026·山西晋中·三模）下列频率分布直方图中，平均数大于中位数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积相等，平均数一般用每组数据的中点值乘以频率再求和来计算，再对照各个选项的图形分析，即可求解. 【解答过程】根据拖尾效应，对于选项A和B，根据频率分布直方图关于中线对称，所以平均数等于中位数，所以A和B错误； 对于选项C，根据频率分布直方图左拖尾，易得平均数小于中位数，所以C错误； 对于选项D，根据频率分布直方图右拖尾，易得平均数大于中位数，所以D正确． 故选：D. 【变式3-2】（2026·河南郑州·三模）4月23日是“世界读书日”，全社会都参与到阅读中来，形成爱读书，读好书，善读书的浓厚氛围．某中学共有3000名学生，为了了解学生书籍阅读量情况，该校从全校学生中随机抽取200名，统计他们2024年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（   ） （注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表） A．阅读量的众数估值为8 B．阅读量的中位数估值为6.5 C．阅读量的平均数估值为6.76 D．阅读量的第70百分位数估值为8.86 【答案】D 【解题思路】利用频率分布直方图性质分别计算众数、中位数、平均数、第70百分位数，即可得到答案. 【解答过程】众数估值为，A错误； 中位数在内，所以，解得，B错误； 平均数，C错误； 第70百分位数在内，所以， 解得，D正确. 故选：D. 【变式3-3】（2026·天津和平·二模）某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的是（    ） A． B．满意度计分的众数约为75分 C．满意度计分的平均分约为79分 D．满意度计分的第25百分位数约为70分 【答案】C 【解题思路】由频率分布直方图的面积和为1可得A正确；由频率分布直方图计算众数，平均数，第25百分位数可得B正确，C错误，D正确. 【解答过程】对于A，由频率分布直方图可得，又， 解得，，故A正确； 对于B，满意度计分的众数为最高矩形底边中点横坐标75分，故B正确； 对于C，满意度计分的平均分约为，故C错误； 对于D，前两组的频率之和为，所以满意度计分的第25百分位数约为70分，故D正确. 故选：C. 【题型4 方差的求解】 【例4】（2026·江苏南通·三模）已知9个数据：，，，，的均值为，方差为2，现将加入，则新数据的方差为（   ） A． B．2 C． D．18 【答案】A 【解题思路】由题意得，由方差公式即可求解. 【解答过程】由题意得，， 则新数据的方差 ， 故选：A． 【变式4-1】（2026·广东深圳·二模）下列各组数据中方差最大的一组是（   ） A．6，6，6，6，6 B．5，5，6，7，7 C．4，5，6，7，8 D．4，4，6，8，8 【答案】D 【解题思路】根据数据的波动越大，方差越大；数据越稳定，方差越小.通过观察数据的离散程度以及计算平均值和方差来得出答案. 【解答过程】对于A： 数据全部为6，相等，没有波动，所以方差为0. 对于B：平均数为，方差为. 对于C： 平均数为，方差为. 对于D： 平均数为，方差为. 通过比较可知，选项D的方差最大. 故选：D. 【变式4-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知这10个数据的平均数为，方差为1.98，则这11个数据的方差为（    ） A．1.8 B．0.8 C．1.98 D．0.98 【答案】A 【解题思路】计算出，从而根据平均数和方差的定义计算出答案. 【解答过程】这10个数据的方差为，则， 这11个数据的平均数为， 方差为. 故选：A. 【变式4-3】（2026·宁夏银川·模拟预测）为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从甲、乙两个班各抽取5位同学参加环保知识测试，得分十分制情况如图所示，则下列描述不正确的是（    ） A．两组数据的平均数都是6分 B．两组数据的中位数都是6分 C．两组数据的极差相等 D．甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差 【答案】B 【解题思路】分别计算甲、乙两组数据的平均数、中位数、极差和方差，然后逐一判断各选项的正确性. 【解答过程】甲组数据的平均数分. 乙组数据的平均数分. 所以两组数据的平均数均为分，A选项正确. 将甲组数据、、、、从小到大排列为、、、、，数据个数是奇数，最中间的数是，所以甲组数据的中位数为分. 将乙组数据，，，，从小到大排列为，，，，，数据个数是奇数，最中间的数是，所以乙组数据的中位数为分.B选项错误. 甲组数据中最大值是，最小值是，则甲组数据的极差为分. 乙组数据中最大值是，最小值是，则乙组数据的极差为分. 所以两组数据的极差相等，C选项正确. 对于甲组数据，，，则. 对于乙组数据，，，则. 因为，所以甲组的方差小于乙组的方差，D选项正确. 故选：B. 【题型5 分层抽样中的方差问题】 【例5】（2026·甘肃武威·模拟预测）某学校从高三某次联考中随机抽取了甲班50名、乙班40名学生的成绩.已知甲班50名学生成绩的平均数为112分，方差为8，乙班40名学生成绩的平均数为94分，方差为8，则这90名学生成绩的方差为（   ） A．8 B．36 C．64 D．88 【答案】D 【解题思路】根据两组数据的均值和方差，利用方差合并公式计算可得. 【解答过程】设甲班50名学生成绩的平均数和方差分别为，， 乙班40名学生成绩的平均数和方差分别为，， 则，，，， 所以这90名学生成绩的平均数为， 则这90名学生成绩的方差为 . 故选：D. 【变式5-1】（2026·山东·三模）某班成立了A、B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组平均成绩为130分，方差为115，B组平均成绩为110分，方差为215，则在这次测试中，全班学生的平均成绩和方差为（    ） A．120分， 105 B．120分， 265 C．115分， 105 D．115分， 265 【答案】D 【解题思路】先利用加权平均数公式求出全班学生的平均成绩，再利用混合模型的方差公式计算即得. 【解答过程】依题意，A组10人，B组30人，A组平均成绩为130分，方差为115，B组平均成绩为110分，方差为215. 则全班学生的平均成绩为：， 其方差为：. 故选：D. 【变式5-2】（2026·甘肃张掖·模拟预测）某中学从高一学生中抽取了50名男生，50名女生调查高一学生身高的情况.已知所有这100名学生身高的方差为48，其中50名男生身高的平均数为，方差为16，50名女生身高的平均数为，则50名女生身高的方差为（    ） A．15 B．24 C．30 D．36 【答案】C 【解题思路】利用分层抽样的平均数公式、方差公式分别计算即得. 【解答过程】设男生身高的平均数和方差分别是，女生身高的平均数和方差分别是， 则，， 可得所有100名学生身高的平均数. 所有100名学生身高的方差， 即，解得. 故选：C. 【变式5-3】（2026·湖北·模拟预测）某科技公司研发部有40名员工，市场部有60名员工.统计两个部门员工参与机器人项目开发的周均时长（单位：小时），得到研发部样本数据的平均值为30小时，方差为18，市场部样本数据的平均值为25小时，方差为12.则该科技公司参与机器人项目研发的周平均时长和方差的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】由两组数据平均数、方差的计算公式即可求解. 【解答过程】平均值 方差， 故选：C. 【题型6 其他统计图表中反映的集中趋势与离散程度】 【例6】（2026·江西·模拟预测）随着消费者对食品安全和健康饮食的关注度的提升，中国有机燕麦作为有机食品中营养价值较高的产品，受到消费者青睐，下图为中国有机燕麦消费者调研样本构成，根据该图，下列说法正确的是（    ） A．中国有机燕麦消费者中女性不超过男性的2倍 B．超过的中国有机燕麦消费者月收入不高于15000元 C．超过半数的中国有机燕麦消费者年龄在31~40岁 D．中国有机燕麦消费者收入构成占比中的5个百分数的中位数是33.0% 【答案】C 【解题思路】利用中位数的定义结合从图表中获取的数据求解即可. 【解答过程】对于A，由图可得中国有机燕麦消费者中女性与男性占比分别为，，而，故A错误， 对于B，中国有机燕麦消费者月收入不高于元的占比为，故B错误， 对于C，中国有机燕麦消费者中年龄在31~40岁的占比为57.7%，故C正确， 对于D，中国有机燕麦消费者收入构成占比中的5个百分数的中位数是，故D错误. 故选：C. 【变式6-1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）由诺贝尔自然科学奖的历史数据表明，交叉学科是自然科技领域的重要发展趋势之一，跨学科研究也成为推动科学进步的关键力量．下图是连续5年我国交叉学科的建设情况统计图，则下列关于这5年我国交叉学科建设情况的说法正确的是（    ） A．交叉学科总数的第75百分位数为616 B．交叉学科高校数的平均数为186.8 C．交叉学科高校数的极差为78 D．每年的交叉学科总数与交叉学科高校数的差值越来越小 【答案】C 【解题思路】由百分位数、平均数、极差的概念逐项判断即可. 【解答过程】对于A，由，即交叉学科总数的第75百分位数为第4个数677，错误， 对于B，交叉学科高校数的平均数为，错误， 对于C，交叉学科高校数的极差为231－153＝78正确， 对于D，由图可得从第1年到第5年间，交叉学科总数与交叉学科高校数的差值依次为，，，，， 所以其差值越来越大，错误， 故选：C. 【变式6-2】（2026·湖北孝感·三模）某保险公司销售某种保险产品，根据2023年全年该产品的销售额(单位：万元)和该产品的销售额占全年总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图．根据双层饼图，下列说法正确的是（    ） A．2023年第四季度的销售额为280万元 B．2023年上半年的总销售额为500万元 C．2023年2月份的销售额为60万元 D．2023年12个月的月销售额的众数为50万元 【答案】A 【解题思路】根据给定的双层饼状图求出全年总销售额，再逐项计算判断. 【解答过程】由第二季度的销售额为260万元，第二季度的销售额占全年总销售额的百分比为26%，得全年总销售额为1000万元， 对于A，2023年第四季度的销售额为(万元)，A正确； 对于B，2023年上半年的总销售额为(万元)，B错误； 对于C，2023年2月份的销售额为(万元)，C错误； 对于D，2023年12个月的月销售额(单位：万元)分别是50，50，60，60，90，110，80，100， 120，120，100，60，众数是60，D错误. 故选：A. 【变式6-3】（2026·四川绵阳·三模）某家电公司生产了两种不同型号的空调，公司统计了某地区2024年的前6个月这两种型号空调的销售情况，得到销售量的折线统计图如图所示，分析这6个月的销售数据，下列说法不正确的是（    ）    A．型号空调月销售量的极差比型号空调月销售量的极差大 B．型号空调月平均销售量比型号空调月平均销售量大 C．型号空调月销售量的上四分位数比型号空调销售量的上四分位数大 D．型号空调月销售量的方差比型号空调月销售量的方差小 【答案】D 【解题思路】结合题中数据，根据极差、平均数、上四分位数、方差的定义求解判断即可. 【解答过程】由图可知，型号空调月销售量的极差为， 型号空调月销售量的极差为，故A正确； 型号空调月平均销售量为， 型号空调月平均销售量为，故B正确； 将型号空调月销售量数据从小到大排列为：25，27，28，38，42，50， 由，则型号空调月销售量的上四分位数为42， 将型号空调月销售量数据从小到大排列为：22，25，30，37，40，45， 由，则型号空调月销售量的上四分位数为40，故C正确； 型号空调月销售量的方差为 ， 型号空调月销售量的方差为 ， 故D错误. 故选：D. 一、单选题 1．（2026·广东广州·模拟预测）样本数据4，5，9，7，2的第60百分位数是（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【解题思路】根据百分位数的求法求得正确答案. 【解答过程】样本数据为， ， 所以第百分位数为. 故选：B. 2．（2026·湖南长沙·三模）某班12名学生某次数学测验成绩（单位：分）如下：72，75，78，80，82，85，88，90，92，94，96，98．则这组数据的中位数为（    ） A．85 B．86.5 C．88 D．87 【答案】B 【解题思路】根据中位数的概念即可求解. 【解答过程】数据共12个（偶数个），中位数取第6、第7个数的平均数． 第6个数：85，第7个数：88， 所以中位数为. 故选：B. 3．（2026·山东滨州·二模）某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分.学生得分的频率分布直方图如图所示，根据图中数据，估计得分的第80百分位数为（   ） A．78 B．82 C．85 D．88 【答案】D 【解题思路】由百分位数计算公式即可求解. 【解答过程】频率分布直方图中，所有区间的频率和为1， 可得 ， 因此： 各区间累计频率为： 频率，累计， 频率，累计， 频率，累计， 频率，累计 ， 因此第80百分位数落在区间 内， 根据百分位数计算公式：第80百分位数 . 故选：D. 4．（2026·天津和平·二模）如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的中位数为m，众数为n，平均数为p，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【解答过程】由频率分布直方图可知，单峰不对称且右“拖尾”，最高峰偏左，众数最小. 平均数受极端值影响，与中位数相比，平均数总在“拖尾”那边，故平均数大于中位数， 故得. 故选：A. 5．（2026·四川德阳·一模）随着2025年央视中秋晚会选址德阳以及四川省城市足球联赛（川超）如火如荼的开展，为德阳带来了大量游客.10月12日，德阳体育公园迎来首个川超主场，现场人声鼎沸，座无虚席.某球迷团队共10人（其中男7人，女3人）来现场观赛，已知男球迷消费平均数和方差都是2；女球迷消费平均数为3，方差为1，则该团队总体10人消费的平均数和方差分别是（   ）（平均数单位均为千元，方差单位均为(千元)2） A．2.3，1.91 B．2.3，2.27 C．1.7，1.91 D．1.7，2.27 【答案】A 【解题思路】由分层随机抽样的总体平均数和方差公式直接计算即可得解. 【解答过程】由题可得总体10人消费的平均数为， 总体10人消费的方差为. 故选：A. 6．（2026高三上·重庆·专题练习）在从小到大依次排列的样本数据、、、、、中，已知中位数小于众数，则该组样本数据的平均数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意可知，或，结合题意可得出关于的不等式，即可得出的值，然后利用平均数公式可求得结果. 【解答过程】由题意可知，这组数据的中位数为， 因为该组数据存在众数，故或，则这组数据的众数为， 又这组数据的中位数小于众数，所以，解得，故， 因此，这组数据的平均数为. 故选：C. 7．（2026·重庆·模拟预测）某动漫社团为了调查本校学生对新上映电影的喜好程度， 对该校学生进行了满意度调查， 其中男生共调查了 600 人，女生共调查了 400 人，男生平均给分 4 分，方差为 1 ，女生平均给分 3 分，方差也为 1 . 则调研对象总体方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据分层平均数求出总体平均数，然后根据分层方差和总体方差的关系求解可得. 【解答过程】记男生平均给分为，方差为，女生平均给分为，方差为， 则， 所以总体平均数， 所以总体方差为. 故选：D. 8．（2026·天津·二模）某地组织全体中学生参加了主题为“强国之路”的知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（    ） A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有750人 B．直方图中的值为0.020 C．估计全校学生成绩的中位数为87 D．估计全校学生成绩的分位数约为90 【答案】C 【解题思路】根据频率分布直方图计算区间的频率，即可判断A，根据频率和为1，计算的值，判断B，根据中位数和百分位数公式，判断CD. 【解答过程】A.由图可知，成绩在区间内的频率为，人，故A错误； B.由图可知，，得，故B错误； C.前3组的频率和为，前4组的频率和为，所以中位数在第4组， 所以，得，故C正确； D. 样本数据的分位数在第5组，，得，故D错误. 故选：C. 二、多选题 9．（2026·陕西西安·一模）某校举办“学党史守初心，践使命担责任”党史知识竞赛，并将2000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则（    ） A． B．估计成绩低于50分的有20人 C．估计这组数据的众数为75 D．估计这组数据的第75百分位数为82 【答案】ACD 【解题思路】根据频率分布直方图各矩形面积和为1求出的值判断A，计算成绩低于50分的频率进而得到人数判断B，根据频率分布直方图的众数和百分位数的定义判断CD. 【解答过程】由频率分布直方图可知，解得，A说法正确； 成绩低于50分的频率为，所以成绩低于50分的有人，B说法错误； 最高矩形底边中点值为75，故这组数据的众数为75，C说法正确； 由于，， 所以这组数据的第75百分位数位于，设为， 则，解得，D说法正确； 故选：ACD. 10．（2026·广东清远·一模）某企业招聘考试分笔试与面试，笔试满分为100分，笔试成绩排名前（含）的考生才可以参加面试．现有1800人报名参加笔试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如下图所示，则（    ） A．90后考生比00后考生多100人 B．所有考生笔试成绩的分位数约为83.3（保留一位小数） C．进入面试的笔试成绩最低分约为85.7（保留一位小数） D．所有考生笔试成绩的中位数大于平均数 【答案】BD 【解题思路】根据题意，由统计图表中的数据，结合频率分布直方图的面积和百分位数，以及平均数的计算公式，逐项判定，即可求解. 【解答过程】对于A中，由年龄的扇形统计图，可得90后的考生有人， 00后的考生有人，可得人，所以A不正确； 对于B中，由频率分布直方图性质，可得， 解得，则前三个矩形的面积和， 前四个矩形的面积和， 所有考生笔试成绩的分位数，所以， 所以笔试成绩的分位数为分，所以B正确； 对于C中，设进入面试成绩的最低分为，由前三个矩形的面积和为，第四个矩形的面积为，则分，所以C不正确； 对于D中，根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得考试的平均成绩为： 分， 因为前两个矩形的面积和，前三个矩形的面积和， 设考试成绩的中位数设为，所以，所以笔试成绩的中位数为分，所以D正确. 故选：BD. 11．（2026·广东广州·模拟预测）北京时间2024年9月22日，全国射击锦标赛（步枪项目）男子10m气步枪决赛进行.在巴黎奥运会摘得双金的“干饭哥”盛李豪，以251.6环的成绩夺冠，实现了全锦赛三连冠.盛李豪在预赛就有着非常稳健的发挥，6轮比分分别打出了106.4环、105.4环、105.3环、105.2环、106环和105.4环的成绩，以633.7环的成绩排名预赛所有参赛选手第1位，则（    ） A．该组数据的中位数为105.4 B．该组数据的25%分位数为105.2 C．若该组数据去掉一个最高分和一个最低分，则这组数据的平均数不变 D．若该组数据去掉一个最高分和一个最低分，则这组数据的方差变小 【答案】AD 【解题思路】根据中位数和百分位数的概念可判断AB；根据平均数的算判断C；根据方差的含义可判断D. 【解答过程】将6轮比分从小到大排列为105.2环、105.3环、105.4环、105.4环、106环、106.4环 故该组数据的中位数为，A正确； 由于，故该组数据的25%分位数为105.3，B错误； 原数据的平均数为， 去掉一个最高分和一个最低分后的数据的平均数为， 即平均数改变，C错误； 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，去掉一个最高分和一个最低分后，数据的波动变小，所以方差变小，D正确， 故选：AD. 三、填空题 12．（2026·四川成都·模拟预测）某学习小组在一次数学测试中的得分数据如下：112，116，121，125，125，128，132，138，144，则这9个数据的75%分位数为___________． 【答案】 【解题思路】将数据从小到大排列，结合百分位数的计算方法，即可求解. 【解答过程】根据题意，将9个数据从小到大排列：112，116，121，125，125，128，132，138，144， 由，所以75%分位数是第7个数据为， 故答案为：. 13．（2026·江苏南通·模拟预测）一组样本数据2，5，6，7，8，10，11，的中位数为，则___________. 【答案】7 【解题思路】根据给定条件，利用中位数的定义列式求解. 【解答过程】样本数据组共8个数，其中位数是由小到大排列的最中间两个数和的一半， 由，且样本数据组的中位数是其中的一个数据， 得，因此，所以. 故答案为：7. 14．（2026·河南·三模）在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11，则估计该校高三年级学生体重的方差为___________． 【答案】36 【解题思路】根据分层随机抽样样本平均数公式和方差公式即可算出答案. 【解答过程】由分层随机抽样样本平均数公式可得， 根据分层随机抽样样本方差公式． 故答案为：36. 四、解答题 15．（2026·湖南长沙·模拟预测）某公司为了了解本公司职员的午餐费用情况，抽样调查了100位职员的午餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清． (1)试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员午餐日平均费用的众数和平均数； (2)已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员午餐日平均费用不超过6元？ 【答案】(1)，众数为，平均数为 (2)人 【解题思路】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为求出，根据最高矩形底边中点估计众数，利用各组中点值乘以频率之和估计平均数； （2）计算日平均费用不超过元的频率，再乘以总人数即可. 【解答过程】（1）由频率分布直方图可得， ， 解得. 由图可知，最高矩形的组为，故众数的估计值为该组底边的中点值，即. 平均数为： 故，众数为，平均数为. （2）由频率分布直方图可知，午餐日平均费用不超过元的频率为： . 已知该公司共有名职员， 则估计该公司午餐日平均费用不超过元的职员人数为： （人）. 故估计该公司有名职员午餐日平均费用不超过元. 16．（2026·陕西榆林·模拟预测）某果树种植基地为了调研A品种橘子树的结果情况，随机采摘了100个橘子，称重后得到的数据分成六组，分别为，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． (1)估算样本的中位数； (2)已知上的平均重量是65克，方差是6，上的平均重量为75克，方差是3，求两组重量的总方差． 【答案】(1)75 (2)28.2 【解题思路】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再估算出样本的中位数. （2）利用分层抽样的方差公式计算即得． 【解答过程】（1）由频率分布直方图，得，解得，    数据在的频率为，在的频率为， 所以样本的中位数约为. （2）由（1）知数据在上与上的频率之比为， 因此样本数据的总平均重量（克），             所以总方差. 17．（2026·安徽淮北·一模）某蛋糕店每天做若干个生日蛋糕，每个制作成本为元，当天以每个元售出，若当天白天售不出，则当晚后以元个价格作为普通蛋糕低价售出，可以全部售完． (1)若蛋糕店每天做个生日蛋糕，写出当天的利润单位：元关于当天蛋糕需求量 单位：个，的分段函数关系式； (2)蛋糕店记录了天生日蛋糕的日需求量单位：个整理得下表： 日需求量 频数 天 日利润 （i）假设蛋糕店在这天内每天制作个生日蛋糕，求，，，及这天的日利润单位：元的平均数； （ii）若蛋糕店一天制作个生日蛋糕，以天记录的各需求量的频率作为概率，求当天利润不少于元的概率． 【答案】(1) (2)（i），，，，平均数；（ii） 【解题思路】（1）根据已知得出分段函数解析式； （2）（i）应用频率计算求解平均数；（ii）应用已知频率计算求解. 【解答过程】（1）当日需求量时，利润； 当日需求量时，利润； 利润关于当天需求量的函数解析式 （2）（i）由（1）得，，，， 这天的日利润的平均数为： ， （ii）当天的利润不少于元，当且仅当日需求量不少于个， 故当天的利润不少于元的概率为． 18．（2026·云南昭通·模拟预测）2026年3月，小马智行与如祺出行共建Robotaxi车队，无人驾驶技术逐步商业化落地.甲、乙两种自动驾驶算法各进行次紧急制动测试，反应时间（单位：秒）分别为：与.已知，，，. (1)求甲、乙两组数据的方差、； (2)若规定：当时，认为甲算法显著优于乙（其中为判定系数）.若， （i）现取，判断甲是否显著优于乙； （ii）若要使“甲算法显著优于乙”成立，求的最大整数值. 【答案】(1)，. (2)（i）甲算法显著优于乙；（ii）4. 【解题思路】（1）根据题意，先求得平均数，再结合方差公式，即可求解； （2）（i）结合（1）中所得结果，代入判定系数公式，可求得，，比较大小，即可判断； （ii）结合（1）中所得结果，代入判定系数公式，可求得，即的最大整数值为4. 【解答过程】（1）由题意可得：，，             所以， . （2）（i）由（1）可得，，所以， 又，， 所以当，时，，             因为，可认为甲算法显著优于乙.             （ii）由（1）可得，，，，， 所以，， 又，即，         故的最大整数值为4. 19．（25-26高二上·河南·阶段检测）在某次书展上随机抽取100名观众，调查他们每个月的阅读时长（单位：），得到如图所示的频率分布直方图（分组区间为，，，，）.    (1)若用分层抽样的方式从中随机抽取9人，则内应抽取多少人？ (2)估计参与展会的观众每月的阅读时长的平均数（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）. (3)若阅读时长在前10%的观众被认定为“阅读王者”，通过频率分布直方图，估计阅读时长至少为多少小时，才能被认定为“阅读王者”. 【答案】(1)4 (2) (3) 【解题思路】（1）应用各组频率和为1计算求参数，再应用各段频率应用分层抽样计算人数； （2）应用频率分布直方图计算平均数即可； （3）应用百分位数定义计算求解. 【解答过程】（1）由，得. 因为阅读时长在区间，，，，内的频率分别为0.08，0.32，0.40，0.16，0.04， 所以阅读时长在区间，内的人数分别为32，40， 所以用分层抽样的方式从中随机抽取9人，内应抽取人. （2）设阅读时长的平均数为， 则， 即估计参与展会的观众每月的阅读时长的平均数为. （3）设阅读时长至少为，才能被认定为“阅读王者”. 因为，， 所以，解得， 所以估计阅读时长至少为，才能被认定为“阅读王者”. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.3 用样本估计总体（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数 (2)能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 用样本估计总体 新课标Ⅱ卷：第4题，5分 全国二卷：第1题，5分 全国一卷：第1题，5分 全国二卷：第15题（1），6分 命题规律分析 1、用样本估计总体 从近三年的高考情况来看，高考对用样本估计总体的考查比较稳定，是每年高考必考内容，多以选择题、填空题的形式出现，考查百分位数、平均数、中位数、众数、方差等知识，难度不大；在解答题中出现时，一般会与其他知识结合考查，综合性强，难度中等，需要灵活求解，复习时要加强对相关知识的理解。 考点1 用样本估计总体 知识点1 用样本估计总体 1．总体百分位数的估计 (1)概念 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. (2)求解步骤 可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数： 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算i=n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 2．频率分布直方图的数字特征 (1)众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一组的组中值来表示，即在样本数据的频率分布直方图中，最高小长方形的底边中点的横坐标； (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等； (3)平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和. 3．总体集中趋势的估计 在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.具体概念回顾如下： 名称 概念 平均数 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么就是这组数据的平均数，用表示，即. 中位数 将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数. 众数 一组数据中出现次数最多的数据（即频数最大值所对应的样本数据）称为这组数据的众数. 4．总体离散程度的估计 (1)方差和标准差 假设一组数据是，用表示这组数据的平均数，则我们称为这组数据的 方差.有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式. 我们对方差开平方，取它的算数平方根，称为这组数据的标准差. (2)总体（样本）方差和总体标准差 ①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则总体方差 . ②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为，其中Yi出 现的频数为fi(i=1，2，…，k)，则总体方差为. 总体标准差：. (3)标准差与方差的统计意义 ①标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. ②在刻画数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差. ③标准差(方差)的取值范围为[0,+∞).若样本数据都相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性，则标准差为0.反之，标准差为0的样本，其中的数据都相等. 5．频率分布直方图中的统计参数 (1)频率分布直方图中的“众数” 根据众数的意义可知，在频率分布直方图中最高矩形中的某个(些)点的横坐标为这组数据的众数.一般用中点近似代替. (2)频率分布直方图中的“中位数” 根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值. (3)频率分布直方图中的“平均数” 平均数是频率分布直方图的“重心”.因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. 【方法技巧与总结】 1．若x1,x2,…,xn的平均数为，那么的平均数为.  2．数据x1,x2,…,xn与数据的方差相等，即数据经过平移后方差不变. 3．若x1,x2,…,xn的方差为s2，那么的方差为a2s2. 【题型1 百分位数的求解】 【例1】（2026·湖北·模拟预测）样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的上四分位数为（   ） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 【变式1-1】（2026·河北唐山·模拟预测）数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的分位数是（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【变式1-2】（2026·广西·模拟预测）为落实“双碳”目标，某环保组织调研10个国家2024年度的人均碳排放强度（单位：吨/人·年），得到数据如下：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15．则该组数据的30%分位数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1-3】（2026·四川巴中·二模）以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：（单位：分），则这15人成绩的第80百分位数是（    ） A．92 B．92.5 C．93 D．91.5 【题型2 平均数、众数、中位数的求解】 【例2】（2026·陕西西安·三模）样本数据的中位数是（    ） A．8 B．8.5 C．9 D．9.5 【变式2-1】（2026·四川·一模）从小到大排列的一组数据的中位数等于平均数，则（   ） A． B．5 C． D．6 【变式2-2】（2026·湖南长沙·一模）对于数据，下列说法错误的是（    ） A．平均数为5 B．众数为6 C．极差为10 D．中位数为6 【变式2-3】（2026·江苏扬州·二模）一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10，21，25，35，36，40.若这两组数据的中位数相等，则删除的数为（　　） A．25 B．30 C．35 D．40 【题型3 频率分布直方图中的平均数、众数、中位数、百分位数】 【例3】（2026·云南·模拟预测）某地区对100名新入职教师技能测试的成绩进行了分析，成绩都在区间内，绘制频率分布直方图如图．则下列结论中不正确的是（   ） A．成绩在的频数为10 B．所有小矩形面积之和为1 C．成绩中位数在区间内 D．成绩平均数在区间内 【变式3-1】（2026·山西晋中·三模）下列频率分布直方图中，平均数大于中位数的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·河南郑州·三模）4月23日是“世界读书日”，全社会都参与到阅读中来，形成爱读书，读好书，善读书的浓厚氛围．某中学共有3000名学生，为了了解学生书籍阅读量情况，该校从全校学生中随机抽取200名，统计他们2024年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（   ） （注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表） A．阅读量的众数估值为8 B．阅读量的中位数估值为6.5 C．阅读量的平均数估值为6.76 D．阅读量的第70百分位数估值为8.86 【变式3-3】（2026·天津和平·二模）某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的是（    ） A． B．满意度计分的众数约为75分 C．满意度计分的平均分约为79分 D．满意度计分的第25百分位数约为70分 【题型4 方差的求解】 【例4】（2026·江苏南通·三模）已知9个数据：，，，，的均值为，方差为2，现将加入，则新数据的方差为（   ） A． B．2 C． D．18 【变式4-1】（2026·广东深圳·二模）下列各组数据中方差最大的一组是（   ） A．6，6，6，6，6 B．5，5，6，7，7 C．4，5，6，7，8 D．4，4，6，8，8 【变式4-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知这10个数据的平均数为，方差为1.98，则这11个数据的方差为（    ） A．1.8 B．0.8 C．1.98 D．0.98 【变式4-3】（2026·宁夏银川·模拟预测）为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从甲、乙两个班各抽取5位同学参加环保知识测试，得分十分制情况如图所示，则下列描述不正确的是（    ） A．两组数据的平均数都是6分 B．两组数据的中位数都是6分 C．两组数据的极差相等 D．甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差 【题型5 分层抽样中的方差问题】 【例5】（2026·甘肃武威·模拟预测）某学校从高三某次联考中随机抽取了甲班50名、乙班40名学生的成绩.已知甲班50名学生成绩的平均数为112分，方差为8，乙班40名学生成绩的平均数为94分，方差为8，则这90名学生成绩的方差为（   ） A．8 B．36 C．64 D．88 【变式5-1】（2026·山东·三模）某班成立了A、B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组平均成绩为130分，方差为115，B组平均成绩为110分，方差为215，则在这次测试中，全班学生的平均成绩和方差为（    ） A．120分， 105 B．120分， 265 C．115分， 105 D．115分， 265 【变式5-2】（2026·甘肃张掖·模拟预测）某中学从高一学生中抽取了50名男生，50名女生调查高一学生身高的情况.已知所有这100名学生身高的方差为48，其中50名男生身高的平均数为，方差为16，50名女生身高的平均数为，则50名女生身高的方差为（    ） A．15 B．24 C．30 D．36 【变式5-3】（2026·湖北·模拟预测）某科技公司研发部有40名员工，市场部有60名员工.统计两个部门员工参与机器人项目开发的周均时长（单位：小时），得到研发部样本数据的平均值为30小时，方差为18，市场部样本数据的平均值为25小时，方差为12.则该科技公司参与机器人项目研发的周平均时长和方差的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型6 其他统计图表中反映的集中趋势与离散程度】 【例6】（2026·江西·模拟预测）随着消费者对食品安全和健康饮食的关注度的提升，中国有机燕麦作为有机食品中营养价值较高的产品，受到消费者青睐，下图为中国有机燕麦消费者调研样本构成，根据该图，下列说法正确的是（    ） A．中国有机燕麦消费者中女性不超过男性的2倍 B．超过的中国有机燕麦消费者月收入不高于15000元 C．超过半数的中国有机燕麦消费者年龄在31~40岁 D．中国有机燕麦消费者收入构成占比中的5个百分数的中位数是33.0% 【变式6-1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）由诺贝尔自然科学奖的历史数据表明，交叉学科是自然科技领域的重要发展趋势之一，跨学科研究也成为推动科学进步的关键力量．下图是连续5年我国交叉学科的建设情况统计图，则下列关于这5年我国交叉学科建设情况的说法正确的是（    ） A．交叉学科总数的第75百分位数为616 B．交叉学科高校数的平均数为186.8 C．交叉学科高校数的极差为78 D．每年的交叉学科总数与交叉学科高校数的差值越来越小 【变式6-2】（2026·湖北孝感·三模）某保险公司销售某种保险产品，根据2023年全年该产品的销售额(单位：万元)和该产品的销售额占全年总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图．根据双层饼图，下列说法正确的是（    ） A．2023年第四季度的销售额为280万元 B．2023年上半年的总销售额为500万元 C．2023年2月份的销售额为60万元 D．2023年12个月的月销售额的众数为50万元 【变式6-3】（2026·四川绵阳·三模）某家电公司生产了两种不同型号的空调，公司统计了某地区2024年的前6个月这两种型号空调的销售情况，得到销售量的折线统计图如图所示，分析这6个月的销售数据，下列说法不正确的是（    ）    A．型号空调月销售量的极差比型号空调月销售量的极差大 B．型号空调月平均销售量比型号空调月平均销售量大 C．型号空调月销售量的上四分位数比型号空调销售量的上四分位数大 D．型号空调月销售量的方差比型号空调月销售量的方差小 一、单选题 1．（2026·广东广州·模拟预测）样本数据4，5，9，7，2的第60百分位数是（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 2．（2026·湖南长沙·三模）某班12名学生某次数学测验成绩（单位：分）如下：72，75，78，80，82，85，88，90，92，94，96，98．则这组数据的中位数为（    ） A．85 B．86.5 C．88 D．87 3．（2026·山东滨州·二模）某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分.学生得分的频率分布直方图如图所示，根据图中数据，估计得分的第80百分位数为（   ） A．78 B．82 C．85 D．88 4．（2026·天津和平·二模）如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的中位数为m，众数为n，平均数为p，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·四川德阳·一模）随着2025年央视中秋晚会选址德阳以及四川省城市足球联赛（川超）如火如荼的开展，为德阳带来了大量游客.10月12日，德阳体育公园迎来首个川超主场，现场人声鼎沸，座无虚席.某球迷团队共10人（其中男7人，女3人）来现场观赛，已知男球迷消费平均数和方差都是2；女球迷消费平均数为3，方差为1，则该团队总体10人消费的平均数和方差分别是（   ）（平均数单位均为千元，方差单位均为(千元)2） A．2.3，1.91 B．2.3，2.27 C．1.7，1.91 D．1.7，2.27 6．（2026高三上·重庆·专题练习）在从小到大依次排列的样本数据、、、、、中，已知中位数小于众数，则该组样本数据的平均数为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·重庆·模拟预测）某动漫社团为了调查本校学生对新上映电影的喜好程度， 对该校学生进行了满意度调查， 其中男生共调查了 600 人，女生共调查了 400 人，男生平均给分 4 分，方差为 1 ，女生平均给分 3 分，方差也为 1 . 则调研对象总体方差为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·天津·二模）某地组织全体中学生参加了主题为“强国之路”的知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（    ） A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有750人 B．直方图中的值为0.020 C．估计全校学生成绩的中位数为87 D．估计全校学生成绩的分位数约为90 二、多选题 9．（2026·陕西西安·一模）某校举办“学党史守初心，践使命担责任”党史知识竞赛，并将2000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则（    ） A． B．估计成绩低于50分的有20人 C．估计这组数据的众数为75 D．估计这组数据的第75百分位数为82 10．（2026·广东清远·一模）某企业招聘考试分笔试与面试，笔试满分为100分，笔试成绩排名前（含）的考生才可以参加面试．现有1800人报名参加笔试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如下图所示，则（    ） A．90后考生比00后考生多100人 B．所有考生笔试成绩的分位数约为83.3（保留一位小数） C．进入面试的笔试成绩最低分约为85.7（保留一位小数） D．所有考生笔试成绩的中位数大于平均数 11．（2026·广东广州·模拟预测）北京时间2024年9月22日，全国射击锦标赛（步枪项目）男子10m气步枪决赛进行.在巴黎奥运会摘得双金的“干饭哥”盛李豪，以251.6环的成绩夺冠，实现了全锦赛三连冠.盛李豪在预赛就有着非常稳健的发挥，6轮比分分别打出了106.4环、105.4环、105.3环、105.2环、106环和105.4环的成绩，以633.7环的成绩排名预赛所有参赛选手第1位，则（    ） A．该组数据的中位数为105.4 B．该组数据的25%分位数为105.2 C．若该组数据去掉一个最高分和一个最低分，则这组数据的平均数不变 D．若该组数据去掉一个最高分和一个最低分，则这组数据的方差变小 三、填空题 12．（2026·四川成都·模拟预测）某学习小组在一次数学测试中的得分数据如下：112，116，121，125，125，128，132，138，144，则这9个数据的75%分位数为___________． 13．（2026·江苏南通·模拟预测）一组样本数据2，5，6，7，8，10，11，的中位数为，则___________. 14．（2026·河南·三模）在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11，则估计该校高三年级学生体重的方差为___________． 四、解答题 15．（2026·湖南长沙·模拟预测）某公司为了了解本公司职员的午餐费用情况，抽样调查了100位职员的午餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清． (1)试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员午餐日平均费用的众数和平均数； (2)已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员午餐日平均费用不超过6元？ 16．（2026·陕西榆林·模拟预测）某果树种植基地为了调研A品种橘子树的结果情况，随机采摘了100个橘子，称重后得到的数据分成六组，分别为，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． (1)估算样本的中位数； (2)已知上的平均重量是65克，方差是6，上的平均重量为75克，方差是3，求两组重量的总方差． 17．（2026·安徽淮北·一模）某蛋糕店每天做若干个生日蛋糕，每个制作成本为元，当天以每个元售出，若当天白天售不出，则当晚后以元个价格作为普通蛋糕低价售出，可以全部售完． (1)若蛋糕店每天做个生日蛋糕，写出当天的利润单位：元关于当天蛋糕需求量 单位：个，的分段函数关系式； (2)蛋糕店记录了天生日蛋糕的日需求量单位：个整理得下表： 日需求量 频数 天 日利润 （i）假设蛋糕店在这天内每天制作个生日蛋糕，求，，，及这天的日利润单位：元的平均数； （ii）若蛋糕店一天制作个生日蛋糕，以天记录的各需求量的频率作为概率，求当天利润不少于元的概率． 18．（2026·云南昭通·模拟预测）2026年3月，小马智行与如祺出行共建Robotaxi车队，无人驾驶技术逐步商业化落地.甲、乙两种自动驾驶算法各进行次紧急制动测试，反应时间（单位：秒）分别为：与.已知，，，. (1)求甲、乙两组数据的方差、； (2)若规定：当时，认为甲算法显著优于乙（其中为判定系数）.若， （i）现取，判断甲是否显著优于乙； （ii）若要使“甲算法显著优于乙”成立，求的最大整数值. 19．（25-26高二上·河南·阶段检测）在某次书展上随机抽取100名观众，调查他们每个月的阅读时长（单位：），得到如图所示的频率分布直方图（分组区间为，，，，）.    (1)若用分层抽样的方式从中随机抽取9人，则内应抽取多少人？ (2)估计参与展会的观众每月的阅读时长的平均数（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）. (3)若阅读时长在前10%的观众被认定为“阅读王者”，通过频率分布直方图，估计阅读时长至少为多少小时，才能被认定为“阅读王者”. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $