03 “平面向量的数量积及其应用”快乐导学-《中学生数理化》高一数学2024年2月刊

■王佩其 一、知识要点梳理 1.平面向量数量积的有关概念。 (1)向量的夹角:已知两个非零向量a和 b,O 是平面上的任意一点,作OA→=a,OB→= b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫作向量a 与b 的夹角。(2)数量积的定义:已知两个非零向 量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a|· |b|cosθ 叫作向量a 与b 的数量积(或内 积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ,规 定:零向量与任一向量的数量积为0,即0· a=0。(3)投影向量:(图略)任取一点O,作 OM→=a,ON→=b,过点 M 作直线ON 的垂 线,垂足为 M1,则OM→1 就是向量a 在向量b 上的投影向量。设与b方向相同的单位向量 为e,a与b的夹角为θ,则OM→1 与e,a,θ之 间的关系为OM→1=|a|cosθe。 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示。 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为 向量a,b的夹角。(1)数量积:a·b=|a|· |b|cosθ=x1x2+y1y2。(2)模:|a|= a·a = x21+y21。 (3)夹 角:cosθ = a·b |a||b|= x1x2+y1y2 x21+y21· x22+y22 。(4)两非零 向量a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0。 (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b 时等号 成 立)⇔|x1x2 +y1y2|≤ x21+y21 · x22+y22。 3.平面向量数量积的运算律。 (1)a·b=b·a(交换律)。(2)λa·b= λ(a·b)=a·(λb)(结合律)。(3)(a+b)· c=a·c+b·c(分配律)。 4.平面几何中的向量方法。 (1)用向量表示问题中的几何元素,将几 何问题转化为向量问题。(2)通过向量运算, 研究几何元素之间的关系。(3)把运算结果 “翻译”成几何关系。 二、常用结论汇总 1.平面向量数量积运算的常用公式: (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2。(2)(a±b)2 =a2±2a·b+b2。 2.有关向量夹角的两个结论:(1)若向量 a与b的夹角为锐角,则a·b>0;若a·b> 0,则a与b的夹角为锐角或0。(2)若向量a 与b的夹角为钝角,则a·b<0;若a·b< 0,则a与b的夹角为钝角或π。 三、基本题型探究 题型1:平面向量数量积的基本运算 例1 已知等边△ABC 的边长为3,M, N 为线段BC 的三等分点,则 AM→·AN→= ( )。 A. 23 4 B.2 C. 13 2 D. 26 9 解:由题意得 AM→=AB→+BM→=AB→+ 1 3BC →=AB→ + 13 (AC → -AB→)= 23AB → + 1 3AC →,AN→=AB→+BN→=AB→+23BC →=AB→ + 2 3 AC →-AB→ =13AB →+23AC →。由平面向 量数 量 积 的 定 义 得 AB→·AC→= AB→ · AC→ cos60°=32×12 = 9 2 ,所 以 AM→· AN→= 23AB →+13AC → · 13AB→+23AC→ = 2 9AB →2+59AB →·AC→+29AC →2=29×9+ 5 9× 9 2+ 2 9×9= 13 2 。应选C。 计算平面向量数量积的 三种方法:定义法,即a·b= |a||b|cos<a,b>;坐标法,若a=(x1,y1), 7 知识结构与拓展 高一数学 2024年2月 b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2;利用平 面向量的数量积的几何意义。 题型2:求平面向量的模 例2 (1)已知向量a,b 满足 a =1, b = 3,a-2b =3,则 a-b =( )。 A.2 B.3 C.2 D.5 (2)已知△OAB 是边长为1的正三角 形,若点P 满足OP→=(2-t)OA→+tOB→(t∈ R),则|2AP→|的最小值为( )。 A.3 B.1 C. 3 2 D. 3 4 解:(1)由|a-2b|=3,平方得 a-2b 2 =a2-4a·b+4b2=1-4a·b+12=9,解 得a·b=1,所 以 a-b = a-b 2 = a2-2a·b+b2 = 1-2+3= 2。应 选 A。 (2)以O 为坐标原点,OB 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系,如图1所示。 图1 因为△OAB 是边长为1的正三角形,所 以点A 1 2 ,3 2 ,B(1,0)。由此可得OP→= (2-t)OA→+tOB→= 1+12t,3- 3 2t 。所 以2AP→=2 OP→-OA→ = t+1,3- 3t , 所以|2AP→|= t+1 2+ 3- 3t 2 = 2 t