01 平面向量考点导学-《中学生数理化》高一数学2024年2月刊

■杨丽霞 考点1:理解平面向量的概念、几何表 示,理解两个向量相等、共线的含义 过关题1:已知点A(1,2),B(4,2),则把 向量AB→ 向右平移1个单位后得到的向量是 。 解答思路:长度相等且方向相同的向量 叫相等向量。AB→ 向右平移1个单位后得到 的向量和AB→=(3,0)是相等向量。 过关题2:下列命题正确的是 。 ①若 a = b ,则a=b;②若 AB→= DC→,则四边形ABCD 是平行四边形;③若四 边形 ABCD 是平行四边形,则 AB→=DC→; ④若a=b,b=c,则a=c;⑤若a∥b,b∥c,则 a∥c。 解答思路:a和b可以方向不同,①不正 确。A,B,C,D 四点可以共线,②不正确。 当b=0时,a 和c可以方向不同,⑤不正确。 正确的命题是③④。 过关题3:在△ABC 中,E 为AC 上一 点,AC→=3AE→,P 为BE 上任一点,若AP→= mAB→+nAC→(m>0,n>0),则3m+ 1 n 的最小 值是 。 解答思路:因为AC→=3AE→,所以 AP→= mAB→+nAC→=mAB→+3nAE→。由共线定理得 m+3n=1,且 m>0,n>0,所以 3 m+ 1 n= 3 m+ 1 n (m+3n)=6+9nm+mn≥6+6=12, 当且仅当 9n m= m n ,m+3n=1,即m= 1 2 ,n= 1 6 时取等号,所以3 m+ 1 n 的最小值是12。 考点2:掌握向量的线性运算(加法、减 法、数乘向量),并理解其几何意义 过关题4:已知OA→=a,OB→=b,OC→=c, OD→=d,且四边形ABCD 为平行四边形,则 ( )。 A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0 解答思路:因为四边形ABCD 为平行四 边形,所以AB→=DC→,所以OB→-OA→=OC→- OD→,即b-a=c-d,所以a-b+c-d=0。 应选B。 过关题5:若O 是△ABC 所在平面内一 点,且满足|OB→-OC→|=|OB→+OC→-2OA→|, 则△ABC 的形状为 。 解答思路:因为|OB→-OC→|=|CB→|= |AB→-AC→|,|OB→+OC→-2OA→|=|(OB→- OA→)+(OC→-OA→)|=|AB→+AC→|,所 以 |AB→-AC→|=|AB→+AC→|。此式两边平方得 AB→·AC→=0,所以AB→⊥AC→,所以△ABC 是 直角三角形。 考点3:了解投影向量的概念 过关题6:已知|a|=4,e为单位向量,它 们的夹角为 2π 3 ,则向量a 在向量e上的投影 向量是 ,向量e在向量a 上的投影向量 是 。 解答思路:向量a 在向量e上的投影向 量是 acos 2π 3e=-2e 。向量e在向量a上 的投影向量是 ecos 2π 3 a |a|=- 1 8a 。 考点4:了解平面向量的基本定理及其 意义,会将向量用基底表示 过关题7:下列向量组中,能作为平面内 所有向量基底的是( )。 A.e1=(0,0),e2=(1,-2) B.e1=(-1,2),e2=(5,7) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2= 1 2 ,- 3 4 解答思路:不共线的两个向量才能作为 3 知识结构与拓展 高一数学 2024年2月 基底。A,C,D选项中的两个向量均为共线 向量。应选B。 过关题8:已知 AD,BE 分别是△ABC 的边BC,AC 上的中线,且AD→=a,BE→=b, 则BC→ 可用向量a,b表示为 。 解答思路:AD,BE 分别是△ABC 的边 BC,AC 上的中线,设AD,BE 交于点O,则 O 是△ABC 的重心,所以BC→=2BD→=2(BO→ +OD→)=2 23BE →+13AD → =23a+43b。 考点5:掌握平面向量的坐标表示,会将 平面向量的线性运算用坐标表示,理解平面 向量共线的坐标表示 过关题9:已知a=(1,1),b=(4,x), u=a+2b,v=2a+b,若u∥v,则x= 。 解答思路:u=a+2b=(9,1+2x),v= 2a+b=(6,2+x),由u∥v 得9(2+x)= 6(1+2x),解得x=4。 过关题10:设 PA→=(k,12),PB→=(4, 5),PC→=(10,k),当k= 时,A,B,C 三 点共线。 解答思路:由 A,B,C 三点共线,可得 AB→=PB→-PA→=(4-k,-7)与 BC→=(6, k-5)共线,所以k=-2或k=11。 考点6:理解平面向量数量积的含义,掌 握平面向量数量积的坐标表示 过关题 11:在△ABC 中,|AB→|=3, |AC→|=4,|B