精品解析：北京市西城区北京师范大学附属中学2023-2024学年高三下学期开学测试数学试题

北京师范大学附属实验中学 2023－2024学年度第二学期高三数学开学摸底测试 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 10 B. C. 20 D. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在复平面内，复数满足方程，则所对应向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 平面向量与的夹角是，且，，如果，，点是线段的中点，那么（ ） A. B. C. 3 D. 6 6. 在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体.小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断，其中不正确的是（ ） A 平面 B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 7. 已知圆经过点，且点到点的距离为3，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 等差数列的前项和为.已知，.记（），则数列的（ ） A. 最小项为 B. 最大项为 C. 最小项 D. 最大项为 10. 函数及其导数的定义域均为，记，若和都是偶函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______. 12. 函数的单调递增区间为_________. 13. 已知函数，其中常数，若与所对应的角的终边关于轴对称，则的最小值为________. 14. 设定义在函数当时，的值域为_______；若的最大值为1，则实数的所有取值组成的集合为______. 15. 已知曲线：，：，中.①当时，曲线与有个公共点；②当时，第一象限内，曲线位于曲线的下方；③存在实数，使得曲线围成的区域面积恰等于围成的区域面积；④曲线围成的区域内（不含边界）的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的个数不多于曲线围成的区域内（不含边界）的整点的个数.其中，所有正确结论的序号是________. 三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16. 在中，，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使三角形唯一确定，求： （1）的值； （2）的面积. 条件①：，；条件②：，；条件③：，为等腰三角形. 注：如果选择多个条件解答或选择不符合要求的条件解答，本题得0分. 17. 如图，长方体中，，点为的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求的长，及二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 上学期间，甲每天7:30之前到校概率为，乙每天7:30之前到校的概率为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （1）设为事件“在上学期间随机选择三天，甲在7:30之前到校的天数恰为2天”，求事件发生的概率； （2）在上学期间随机选择两天，记为甲7:30之前到校的天数，记为乙7:30之前到校的天数，，求的分布列和数学期望； （3）在上学期间随机选择天，若在这天中，甲7:30之前到校天数多于乙，则记，否则记，分别比较，的大小和，的大小，直接写出结论. 19. 已知椭圆（）过点，且离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设为椭圆的右顶点，直线与椭圆交于，两点（在第三象限），是椭圆上的动点，直线，分别交直线于点，，记，，求的值. 20. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线与轴平行，求的值； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若实数，，分别满足且，且，且，比较，，的大小. 21. 若数列满足：存在和，使得对任意和，都有，则称数列为“数列”；如果数列满足：存在，使得对任意，都有，则称数列为“数列”； （1）在下列情况下，分别判断是否“数列”，是否“数列”？①，，；②，； （2）若数列，是“数列”，其中且，求的所有可能值； （3）设“数列”和“数列”的各项均为正数，定义分段函数，如下：记为“不超过的最大正整数”，证明：若是周期函数，则是“数列”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京师范大学附属实验中学 2023－2024学年度第二学期高三数学开学摸底测试 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式得到集合B，由补集和并集的定义求. 【详