【创新设计】图书 2016届 数学一轮（理科） 苏教版 江苏专用 配套课时作业+阶段训练 第十三章 选修系列4部分（7份打包）

第1讲　几何证明选讲 1．(2012·江苏卷)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD＝DC，连接AC，AE，DE. 求证：∠E＝∠C. 证明　如图，连接OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，所以OD∥AC， 于是∠ODB＝∠C. 因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B. 于是∠B＝∠C. 因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C. 2. (2011·江苏卷)如图，圆O1与O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)． 求证：AB∶AC为定值． 证明　如图，连接AO1，并延长分别交两圆于点E和点D，连接BD、CE. ∵圆O1与圆O2内切于点A， ∴点O2在AD上，故AD、AE分别为圆O1，圆O2的直径． 从而∠ABD＝∠ACE＝90°. ∴BD∥CE，于是， ＝＝＝ ∴AB∶AC为定值． 3. (2013·常州一中期中)如图，从圆O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，求证：O、C、P、D四点共圆． 证明　∵PA、PB为圆O的两条切线， ∴OP垂直平分弦AB，∴AM＝BM. 在Rt△OAP中，OM·MP＝AM2， 在圆O中，AM·BM＝CM·DM， ∴OM·MP＝CM·DM， 又弦CD不过圆心O， ∴O、C、P、D四点共圆． 4. 如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F. 求证：FD2＝FB·FC. 证明　∵E是Rt△ACD斜边AC的中点， ∴DE＝EA，∴∠A＝∠2. 又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠A. ∵∠FDC＝∠CDB＋∠1＝90°＋∠1， ∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，∴∠FDC＝∠FBD. 又∵∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC，∴， ＝ ∴FD2＝FB·FC. 5. 如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E. (1)求证：AB2＝DE·BC； (2)若BD＝9，AB＝6，BC＝9，求切线PC的长． (1)证明　∵AD∥BC，∴.∴AB＝CD， ＝ ∠EDC＝∠BCD.又PC与⊙O相切，∴∠ECD＝∠DBC. ∴△CDE∽△BCD.∴. ＝ ∴CD2＝DE·BC，即AB2＝DE·BC. (2)解　由(1)知，DE＝＝4， ＝ ∵AD∥BC，∴△PDE∽△PBC， ∴. ，PB＝.又∵PB－PD＝9，∴PD＝＝＝ ∴PC2＝PD·PB＝. .∴PC＝＝· 6. (2015·南京、盐城模拟)如图，△ABC为圆的内接三角形，AB＝AC，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F. (1)求证：四边形ACBE为平行四边形； (2)若AE＝6，BD＝5，求线段CF的长． (1)证明　因为AE与圆相切于点A，所以∠BAE＝∠ACB. 因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB， 所以∠ABC＝∠BAE，所以AE∥BC. 因为BD∥AC，所以四边形ACBE为平行四边形． (2)解　因为AE与圆相切于点A， 所以AE2＝EB·(EB＋BD)， 即62＝EB·(EB＋5)，解得BE＝4. 根据(1)有AC＝BE＝4，BC＝AE＝6. 设CF＝x，由BD∥AC，得， ＝，即＝ 解得x＝. ，即CF＝ 7. (2014·泰州调研)已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC. (1)求证：FB＝FC； (2)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝3，求AD的长． (1)证明　∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC. ∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC＝∠FBC. ∵∠EAD＝∠FAB＝∠FCB， ∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC. (2)解　∵AB是圆的直径，∴∠ACD＝90°. ∵∠EAC＝120°，∠DAC＝∠EAC＝60°，∠D＝30°. 在Rt△ACB中，∵BC＝3，∠BAC＝60°，∴AC＝3， 又在Rt△ACD中，∠D＝30°，AC＝3，∴AD＝6. 8. (2015·宿迁联考)如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过点N的切线交CA的延长线于P. (1)求证：PM2＝PA·PC； (2)若⊙O的半径为2OM，求MN的长． ，OA＝ (1)证明　连接ON.因为PN切⊙O于N， 所以∠ONP＝90°. 所以∠ONB＋∠BNP＝90°. 因为OB＝ON，所以∠OBN