2024年九年级数学中考二轮专题复习《二次函数与直角三角形综合压轴题》专题达标训练

2024年春九年级数学中考复习《二次函数与直角三角形综合压轴题》 专题达标训练（附答案） 1．如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y＝a（x﹣2）2+k经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P． （1）求a，k的值； （2）求△ACP的面积； （3）抛物线的对称轴上是否存在一点N，使△ABN是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点N的坐标，请说明理由． 2．如图，已知在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过点A、C的拋物线（a、b为常数，且）与x轴的另一个交点为，抛物线的对称轴l与x轴交于点H． (1)求点A的坐标和抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线经过A、B、C三点，点、，点B在y轴上．点P是直线下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线于点E，动点P在什么位置时，最大，求出此时P点的坐标； (3)点Q是抛物线对称轴上一动点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出点Q坐标． 4．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），直线AB与抛物线的另一个交点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）连接BC、CD，判断△BCD是什么特殊三角形，并说明理由； （3）在坐标轴上是否存在一点P，使△BDP为以BD为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点P坐标，说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣4），点C的坐标为（2，0）． （1）求此抛物线的函数解析式； （2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，请求出点D的坐标；若不存在； （3）点E是抛物线的对称轴上的一点，若△ABE是直角三角形，直接写出点E的坐标． 6．综合与探究 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C（﹣2，0），点C的坐标是（0，2），M是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式． （2）P为线段MB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，D点坐标为（m，0） ①求△PCD的面积S的最大值． ②在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由． 7．如图，二次函数y1＝x2+mx+1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2＝＜0）的图象相交于点B（a，1）． （1）求出a的值及二次函数的表达式； （2）当y1随x的减少而增大且y1＜y2时，直接写出x的取值范围； （3）在抛物线上是否存在一点E，使△ABE的面积等于，若存在请求出E点坐标； （4）在x轴上确定一点P使△APB为直角三角形，请直接写出P点的坐标． 8．已知抛物线G1：y＝x2﹣2ax+a2﹣4与y轴交于点C，点N坐标为（0，﹣4）． （1）求证：抛物线G1与x轴有两个交点． （2）设G1与x轴交于A（m，0）和B（n，0），且m＜n． ①当NA≥5时，利用图象求n﹣m+a的取值范围． ②抛物线G2与G1关于点A中心对称，G2与x轴的另一个交点为B'．问是否存在a，使△BNB'为直角三角形？若存在，则求出所有可能的a值，请说明理由． 9．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B． （1）若直线y＝mx+n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标； （3）设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标． 10．抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，点M为抛物线的顶点． （1）求二次函数的解析式； （2）连接BM，若点Q为线段OB上的一动点（Q不与点B、点O重合），过点Q作x轴的垂线交线段BM于点N，设运动时间为t，四边形OCNQ的面积为S，并求S的最值； （3）若点R在抛物线上，且以R、C、B为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点R的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），A点在原点的左侧（3，0）．点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方． （1）求这个二次函数及直线BC的表达式． （2）过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求PD的最大值． （3）点M为抛物线对称轴上