2024年中考数学高频考点专题复习-相似三角形问题（二次函数综合）

2024年中考数学高频考点专题复习-相似三角形问题（二次函数综合） 1．如图，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点A，B，且B点的坐标为． (1)求该抛物线的解析式． (2)若点P是上的一动点，过点P作，交于E，连接，求面积的最大值． (3)若点D为的中点，点M是线段上一点，且为等腰三角形，求M点的坐标． 2．如图，经过和两点的抛物线交轴于两点，是抛物线上一动点，平行于轴的直线经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，轴上有点连接，设点到直线的距离为．．小明在探究的值的过程中，是这样思考的：当是抛物线的顶点时，计算的值；当不是抛物线的顶点时，猜想是一个定值．请你直接写出的值，并证明小明的猜想． (3)如图2，点在第二象限，分别连接、，并延长交直线于两点．若两点的横坐标分别为，试探究之间的数量关系． 3．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），且与y轴交于点C，已知点A（3，0），O为坐标原点， (1)当B的坐标为（﹣5，0）时，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，以A为圆心，OA长为半径画⊙A，以C为圆心，AB长为半径画⊙C，通过计算说明⊙A和⊙C的位置关系； (3)如果△BAC与△AOC相似，求抛物线顶点P的坐标 4．如图，经过（1，0）和（2，3）两点的抛物线y＝ax2+c交x轴于A、B两点，P是抛物线上一动点，平行于x轴的直线l经过点（0，﹣2）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，y轴上有点C（0，），连接PC，设点P到直线l的距离为d，PC＝t．童威在探究d﹣t的值的过程中，是这样思考的：当P是抛物线的顶点时，计算d﹣t的值；当P不是抛物线的顶点时，猜想d﹣t是一个定值．请你直接写出这个定值，并证明； （3）如图2，点P在第二象限，分别连接PA、PB，并延长交直线l于M、N两点．若M、N两点的横坐标分别为m、n，试探究m、n之间的数量关系． 5．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点连接．点沿以每秒个单位长度的速度由点向点运动，到达点后再以同样的速度沿轴正半轴运动，同时，点沿以每秒个单位长度的速度由点向点运动，当点停止运动时，点也随之停止运动，连接．过点作轴，与抛物线交于点连接．设点的运动时间为秒，已知点、点的坐标分别为． （1）求抛物线的解析式． （2）①直接写出点的坐标（用含的代数式表示，结果需化简）； ②当点在线段上运动，且满足时，求的值． （3）试探究：在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使得的中点落在坐标轴上？若存在，请直接写出此时的值与点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．抛物线过点，点，顶点为C． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如图1，点P在抛物线上，连接并延长交x轴于点D，连接，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，点E是线段上（与点A，C不重合）的动点，连接，作，边交x轴于点F： ①求证： ②的长度是否有最大值？如果有，求出该最大值；如果没有，请说明理由． 7．已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点在第一象限，且与直线y＝1只有一个公共点． (1)若抛物线的对称轴为直线x＝1，求a、c之间应当满足的关系式； (2)若b＝﹣2，点P是抛物线的顶点，且点P与点Q关于y轴对称，△OPQ是等腰直角三角形． ①求抛物线的解析式； ②直线y＝kx（k＞0）与抛物线C1交于两不同点A、B（点A在点B的左侧），与直线y＝﹣2x+4交于点R．求证：对于每个给定的实数k，总有成立． 8．如图，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴相交于点．连结两点的坐标分别为、，且当和时二次函数的函数值相等． （1）求实数的值； （2）若点同时从点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为秒时，连结，将沿翻折，点恰好落在边上的处，求的值及点的坐标； （3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 9．已知抛物线W1与y轴交于点C，其关于x轴对称的抛物线为W2：y＝x2-mx+n，且W2经过点A（-3，0）和点B（1，0）． （1）求抛物线W1的解析式； （2）将抛物线W1沿x轴向右平移得到抛物线W3，抛物线W3与x轴的交点记为点D和点E（D在E的右侧），与y轴交于点Q，如果满足△AOC与△DOQ相似，请求出平移后抛物线W3的表达式． 10．如图，抛物线经过点，点，顶点为，点在抛物线上，且 （1）                                                        （2） (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），求点的