四川省雅安市雅安中学等校联考2023-2024学年高三下学期开学考试数学（理）试题

2024届高三数学试题（理科） 考生注意： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟. 2．请将各题答案填写在答题卡上. 3．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知集合，则（ ） A. B. C D. 2. 已知复数为纯虚数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知非零向量，满足，且，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是三条不重合的直线，是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则且 C. 若，则 D. 若，则 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为，，，则输出的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，非空集合，且中所有元素之和为奇数，则满足条件的集合共有（ ） A. 12个 B. 14个 C. 16个 D. 18个 8. 已知函数，若存在，使得，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 在内有零点 D. 若在内有零点，则 9. 当两个变量呈非线性相关时，有些可以通过适当的转换进行线性相关化，比如反比例关系，可以设一个新的变量，这样与之间就是线性关系．下列表格中的数据可以用非线性方程进行拟合， 1 2 3 4 5 6 2.5 3.6 4.4 5.4 6.6 7.5 用线性回归的相关知识，可求得的值约为（ ） A. 2.98 B. 2.88 C. 2.78 D. 2.68 10. 若函数在上恰有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 11. 我们把形如和的两个双曲线叫做共轭双曲线．设共轭双曲线，的离心率分别为，，则当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 12. 当时，恒成立，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上． 13. 已知实数，满足约束条件，则其表示封闭区域的面积为______． 14. 已知抛物线焦点为，是上一点，且，则______． 15. 一个封闭的玻璃圆锥容器内装有部分水（如图1），此时水面与线段交于点，将其倒置后（如图2），水面与线段还是交于点，则______． 16. 在中，，延长CB至点，使得，若，则的取值范围为______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 18. 为了防止注册账号被他人非法登录，某系统在账号登录前，要先输入一个验证码.当连续3次输入错误验证码时，该用户账号将被冻结，需本人持有效证件进行解冻.已知该系统登入设置的每个验证码由有序数字串abcd组成，其中，某人非法登录一个账号，任选一组验证码输入，直到输入正确的验证码或账号被冻结． （1）求这个人第一次输入的验证码恰有两位正确的概率； （2）设这个人输入验证码的次数为X，求X的分布列和期望． 19. 如图，在四棱柱中，底面和侧面均是边长为2的正方形. （1）证明：. （2）若，求二面角的余弦值. 20. 已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为． （1）求椭圆的方程． （2）设是椭圆上第一象限内的一点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点．记的面积为，的面积为．证明：为定值． 21. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若方程有两个不相等的根，且的导函数为，证明：． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． ［选修4－4：坐标系与参数方程]（10分） 22. 已知曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），与相交于，两点． （1）求曲线的普通方程； （2）设，证明：为定值． ［选修4－5：不等式选讲]（10分） 23. 已知正实数，，满足． （1）若，证明：． （2）求的最大值． 2024届高三数学试题（理科） 考生注意： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟. 2．请将各题答案填写在答题卡上. 3．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符