5.2.1等差数列（二）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第三册）

5.2.1等差数列（二） 上节课我们学习了等差数列的概念和等差数列的通项公式；我们知道数列是一类特殊的函数，那么等差数列也应是一类特殊的函数，那么等差数列有没有其独特的性质呢？本节课我们来进行学习！ 1. 理解等差中项的概念，能用公式求解；（重点） 2. 掌握判断等差数列的常用方法； 3. 掌握等差数列的性质，并能灵活运用等差数列的性质解决问题.（难点） 例4 .已知等差数列{an}的公差为，求证：对于任意的正整数有 探究点1：等差数列通项公式的推广 【解析】设等差数列的首项为,则 两式相减，整理可得 即 推导公式： 已知数列的任意一项（不一定是首项）以及公差，即可求出其通项公式. 例 5.已知等差数列{an}中，， ，求. 【解析】（方法一）设等差数列的首项为，，则， 解得 ， 3 因此 通性通法 基本量的运算 （方法二）设等差数列的 根据推导公式 所以 将已知条件代入，可得 ， 又，解得 探究点2：等差中项 问题 1：如果在与之间插入一个数，使得成等差数列，那么应该满足什么条件？ 【提示】由等差数列定义及成等差数列可得： 整理可得 如果三个数组成等差数列，那么叫做和的 等差中项. 等差中项 例如：2与8的等差中项是 在一个等差数列中，中间的每一项（既不是首项也不是末项的项）都是它的前一项与后一项的等差中项. 追问：一个等差数列是2，4，6，8，10，12，14.请问8是谁的等差中项呢？ 2，4，6，8，10，12，14 在和之间顺次插入三个数，，使这五个数成等差数列，求此数列. 即时训练： 【解析】因为， a，b，c， 成等差数列， 所以b是和的等差中项，b， 又a是与b的等差中项， c是b与的等差中项， 则a ， c 所以该数列为，1，3，5，7. 探究点3：等差数列的判断方法 例6.已知数列{}中， 在时恒成立，求证：{}是等差数列. 【解析】因为 所以. 因此，从第2项起，每一项与它的前一项的差都相等，所以是等差数列. 等差数列的定义是什么？ ， 是与 的等差中项 1.定义法 利用定义看 是不是一个与n无关的常数. 【总结】 判断一个数列是不是等差数列的几种常用方法 2.等差中项法 3.通项公式法 如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次函数，那么这个数列必定是等差数列. 判断一个数列是否为等差数列，可以用以上三种方法，但证明一个数列是等差数列，只能用方法1和方法2. 或 探究点4：等差数列的性质 问题 1：设数列{}的通项公式为，求出，并比较它们的大小. 【提示】由易知，数列{an}是等差数列， 因为 =3×2－1+3×7－1=25， =3×3－1+3×6－1=25， 所以. 思考：从中你发现了有关等差数列的怎样的一般规律？ 追问：等差数列{}中，要使相等，应该满足什么条件呢？ 【提示】设 =， =， 所以当= 时，. 一般地，如果 {} 是等差数列，而且正整数s， t，p，q满足 s + t = p + q，则 性质推广：如果 2s = p + q ( s，p，q ∈N +)，则 2=，即 是与 的等差中项. 下标和性质 以上性质可描述为： 等差数列中，下标和相等的任意两项，它们的和也相等. 1. 在等差数列{}中，+ = 10，则 + 等于 （ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 14 2. 已知在等差数列{}中，+ = 20，= 28. 求 . 即时训练： C 【解析】∵+= 2=20，即=10， 又∵ 2 = += 10+28=38， ∴=19. 例 7.如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为35cm，第5级的宽为43cm，且各级的宽度从小到大构成等差数列{}，求其余3级的宽度. 【解析】（方法一）依题意，, ，设公差为， =+(5-1) 则解得. 因此 因此其余3级的宽度分别为37cm，39cm，41cm. 【解析】（方法二）因为等差数列为，，，，共5项， 又因为所以 即，类似地有 所以，， 因此，其余3级的宽度分别为37cm，39cm，41cm. 思考：常见的等差数列的性质还有哪些？ 【提示】 (1){},{}均为等差数列，则{±}也为等差数列. (2)若{kn}为等差数列，kn∈N*，{}为等差数列,则 {}也为等差数列. 1.通项公式的推广； 2.等差中项； 3.等差数列的判断方法； 4.下标和性质. $$