5.2.2等差数列的前n项和（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第三册）

5.2.2等差数列的前n项和 高斯，让我们一起认识一下：C.F. Gauss是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家.他有数学王子的美誉，被誉为历史上最伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名.下面让我们一起学习 一下著名的“高斯算法”. 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程，掌握等差数列五个量 之间的关系.(重点） 2.掌握等差数列前n项和公式、性质及其应用.(重点） 3.能熟练应用公式解决实际问题，并能体会方程思想.（难点） 思考：请同学们思考一下如何快速地求出 1+2+3+4+ 5+…+99+100=？ 你知道高斯是怎么算的吗？ 探究点1：等差数列前n项和 【提示】高斯的算法是：首尾配对，共有50个101，总和是5050. 即：S=1+2+3+…+100， 倒加可得 S=100+99+98+…+1， ∴2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(100+1)， 所以 S==5050. 思考1：如图所示，建筑工地上堆放着一些钢管，最上面一层有4根，下面每一层比上一层多放一根，共8层. 在不逐层相加的前提下，你能算出这堆钢管共有多少根吗？ 【提示】这些钢管从上到下每一层的数量构成一个等差数列. =4 追问：每层钢管数有什么规律？ =11 追问：可以用高斯的算法来算吗？ 4+11=15 这些钢管的总数为 . 思考2： 通过以上两例的讨论，根据等差数列{}的首项，项数，第项，试推导前项和的计算公式. 【提示】① 显然② 根据等差数列的性质 所以把①②两边分别相加可得 等差数列的前 n 项和公式： Sn = （1） Sn = n+ d （2） 根据等差数列的通项公式 = + (n – 1)d 代入变形： 等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半. 例1.已知等差数列{}的公差为2，且,求这个等差数列前20项和. 【解析】 由等差数列的通项公式可得. 由此可解得. 因此， 例2.求等差数列 5，12，19，26，…，201，208 的各项之和. 【解析】 可以看出，所求数列使公差为7的等差数列 设共有n项，则,解得. 因此，各项之和为 思考：在求等差数列前n项和时，如何选用公式？ 【提示】在求等差数列前n项和时，若已知，和项数 n，则使用公式Sn = ； 若已知首项,公差d及项数n，可利用公式Sn = n+ d . 1. 若，d = 2，= 25，求 n； 2.已知一个等差数列{}前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220. 求这个等差数列的首项和公差. 跟踪训练 1.解： ∵ = 1，d = 2，Sn = 25， 结合公式 Sn = n + d可得： 25 = n + n(n – 1)， 整理得 = 25，解得 n = 5 或 – 5 (舍)， 所以 n = 5 . 2.解：∵S10 = 310，S20 = 1220， 结合公式 Sn = n + d ， 解得：. 所以等差数列{}的首项为 4，公差为 6. 等差数列的前项和公式Sn = Sn = na1 + d分别与 ， ，， Sn这五个量有关，其中， 称为等差数列的三个基本量，和Sn都可以用这三个基本量来表示，故五个量可知三求二. 根据具体问题进行直接代入求解，或列方程或方程组求解. 【总结】 探究点2 等差数列前n项和的性质 思考1：在等差数列{}前 n 项和 Sn = n + d中， Sn与n的关系与以前学过的什么函数有关？ 【提示】 Sn = n + d = n + d – d = n2 + ( – )n ， 思考2：如果数列{}的前 n 项和的公式是 ， 其中A,B,C都是常数，那么{}一定是等差数列吗？ Sn = n2 + (a1 – )n O n Sn (n，Sn) O n Sn (n，Sn) O n Sn (n，Sn) ① d = 0：Sn = a1n，一条过原点的直线上均匀分布的点； ② d < 0：一条开口向下的过原点的抛物线上均匀分布的点； ③ d > 0：一条开口向上的过原点的抛物线上均匀分布的点； 二次型函数 例 3.已知数列的前项和为， （1）求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列； （2）求的最小值，并求取最小值时的值. 【解析】(1)当时，有. 当时，有== . 又因为，所以时= 也成立， 因此数列的通项公式为= . 因为= ， 所以是等差数列. (2) (方法一)因为， 将其