2.6.3函数的最值（同步课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册）

2.6.3函数的最值 1.函数的极小值和极大值的概念: 如果函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f′(a)=0；而且在x=a附近的左侧f ′(x)<0 ，右侧f ′(x)>0. 那么我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值； 如果函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f′(b)=0；而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0．那么我们b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值 (extremum)． 温故知新 2 y x O x1 x2 a b y=f(x) 在极大值点附近 在极小值点附近 f (x)<0 f (x)>0 f (x)>0 f (x)<0 左正右负为极大值 左负右正为极小值 温故知新 极值的判定 求函数f(x)极值的步骤： (2)求导数f ’(x)； (3)求方程f ’(x）=0的根； (4)把定义域划分为部分区间，并列成表格 检查f ’(x)在方程根左右的符号—— 如果左正右负（+ ~ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正（- ~ +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值； (1) 确定函数的定义域； f(x0) =0 x0 是函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f(x0) =0 注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 结论 在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题 函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？ 新 课 引 入 极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 7 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： 知识回顾： 最大值与最小值 （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值. 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最小值. 7 2024年2月28日星期三4时47分58秒 7 x o y b a y=f(x) o y x y=f(x) a b x1 x2 x4 如果在闭区间【a，b】上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值并且在端点或极值点取得。 所有极值连同端点函数值进行比较， 最大的为最大值，最小的为最小值 探究（闭区间上的最值问题） x3 x o y a x1 b y=f(x) x2 x3 x4 x5 x6 追问1：函数最值与极值有什么关系？ 联系：只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值。 区别： 1.函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的，即极值是函数的局部性质，最值是函数的整体性质. 2.函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个. 4.极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值. 3.函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值，而最大值一定大于最小值(常值函数除外). 追问2：为什么给定函数的区间必须是闭区间？ 因为不能保证f(x)在开区间上有最大值和最小值（最值有可能在区间端点处取得）。 O x y a b y=f(x) y=f(x) O x y a b O x y a b y=f(x) O x y a b y=f(x) 结论：在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值. 思考： （1）如果函数f(x)在开区间（a,b）有最值，在什么位置取最值？ 答：在极值点位置 （2）如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这个极值点是否是最值点？ 如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。 例如函数y=f(x)图像如下： 1．判断正误(正确的画“√”，