微专题06 圆锥曲线中非对称韦达定理问题的处理-【高频考点解密】2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（江苏专用）

微专题06圆锥曲线中非对称韦达定理问题的处理 研考题·聚焦关键词 解析几何问题中的一些定值、定点、定线，经常出现需要证明类似，通过直线代换可得：，但此时的式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理” 题型一 定直线 例1.【2023年新高考2卷21】已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 变式:已知点A、分别是椭圆：的上、下顶点，、是椭圆的左、右焦点，，． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同两点、（、与椭圆上、下顶点均不重合），证明：直线、的交点在一条定直线上． 题型二 定点 例2.（安徽省六校教育研究会2023-2024学年高三下学期下学期第二次素养测试（2月）数学试题）已知点是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若点，直线，过点的直线与交于两点，直线与直线分别交于点．证明：的中点为定点． 变式:【江苏省扬州市高邮中学2023届高考前热身训练（二）】设直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，且三角形的面积为. (1)求的值； (2)已知直线与轴不垂直且斜率不为0，与交于两个不同的点，，关于轴的对称点为，为的右焦点，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点. 题型三 定值 例3.（湖南省2024届高三数学新改革提高训练一）已知圆的方程,,，抛物线过两点，且以圆的切线为准线. （1）求抛物线焦点的轨迹C的方程； （2）已知， 设x轴上一定点， 过T的直线交轨迹C于 两点（直线与轴不重合），求证：为定值. 变式:【江苏省扬州中学2023届高三下学期模拟检测六】已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为的直线l与双曲线C交于两点，点在双曲线C上，且. (1)求的面积； (2)若（O为坐标原点），点，记直线的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 巩固能力·突破高分 1.（广东省潮州市2022届高三上学期期末数学试题）已知椭圆的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切． （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知点A，B为动直线y=k(x-2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 2.(江苏省镇江中学2023届高三下学期4月（二模）)已知双曲线的右顶点为，左焦点到其渐近线的距离为2，斜率为的直线交双曲线于A，B两点，且． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线交于P，Q两点，直线，分别与直线相交于，两点，试问：以线段为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 3.（2021年新高考1卷21）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 4.（江苏省徐州市第七中学2023届高三上学期一检）已知双曲线的实轴长为4，左､右顶点分别为，经过点的直线与的右支分别交于两点，其中点在轴上方.当轴时， (1)设直线的斜率分别为，求的值； (2)若，求的面积. 5.已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为. （1）求点的轨迹的方程； （2）过作不平行于坐标轴的直线交于D，E两点，若轴于点M，轴于点N，直线DN与EM交于点Q. ①求证：点Q在一条定直线上，并求此定直线； ②求面积的最大值. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题06圆锥曲线中非对称韦达定理问题的处理 研考题·聚焦关键词 解析几何问题中的一些定值、定点、定线，经常出现需要证明类似，通过直线代换可得：，但此时的式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理” 题型一 定直线 例1.【2023年新高考2卷21】已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【答案】(1)(2)证明见解析. 【解析】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. （2）由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则，    直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定