第05讲 导数的综合应用（3大考点母题突破+强化训练）-2024年冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

第5讲　导数的综合应用 [考情分析]　 1.利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题是高考的热点和难点. 2.多以解答题的形式压轴出现，难度较大． 【知识导图】 【考点分析】 考点一：导数与不等式的证明 规律方法　利用导数证明不等式问题的方法 (1)直接构造函数法：证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))转化为证明f(x)－g(x)>0(或f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)． (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论． (3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数． 【母题．（2023·全国·统考高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． [子题1]（2024·安徽淮北·统考一模）已知函数，，（）. (1)求函数的最小值； (2)若有两个不同极值点，分别记为，，且. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若不等式恒成立（为自然对数的底数），求正数的取值范围. 　 [子题2]（2024·陕西榆林·统考一模）设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求； (2)证明：. 【强化训练】 1．（2024上·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考期末）已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若方程两个不同的实数根分别为，，求证：. 2．（2024·陕西榆林·统考一模）设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求； (2)证明：. 3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点，（），求证：． 考点二：恒成立问题与能成立问题 规律方法　(1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略 ①求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题． ②分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围． (2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别． [母题] (2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝ax－，x∈. (1)当a＝8时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)<sin 2x，求a的取值范围． 子题1]（2024·陕西西安·西安中学校考一模）已知函数 . (1)求曲线 在点 处的切线方程 (2)若 对任意的 恒成立，求满足条件的实数 的最小整数值. [子题2]（2024·江西赣州·南康中学校联考模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 【强化训练】 1．（2024下·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考开学考试）已知函数． (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)若，求实数的取值范围． 2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若不等式仅有1个整数解，则实数的取值范围为 . 3．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数，． (1)若恒成立，求a的取值集合； (2)证明：． 4．（2024·陕西西安·统考一模）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 5．（2024·陕西·校联考一模）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求证：当时，对，不等式恒成立． 考点三：零点问题 规律方法　(1)求解函数零点(方程根)个数问题的步骤 ①将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题． ②利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质． ③结合图象求解． (2)已知零点求参数的取值范围 ①结合图象与单调性，分析函数的极值点． ②依据零点确定极值的范围． ③对于参数选择恰当的分类标准进行讨论． [母题]（2023·全国·统考高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. [子题1] 单选题（2022·全国·模拟预测）已知函数恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． [子题2]（2024上·湖北襄阳·高三枣阳一中校联考期末）已知函数，其导函数为． (1)求单调性； (2)求零点个数． 【强化训练】 1．（2024下·全国·高二专题练习）已知函数，. (1)若函数在上单调递增，求的最小值； (2)若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围． 2．（2024下·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）对于函数，若存在，使得，则称为