精品解析：湖南省长沙市雅礼中学2024届高三一模数学试卷

雅礼中学2024届高三一模 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A. 若则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（ ） -2 -1 0 1 2 3 5 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1 A. B. C. D. 6. 甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ） A. ，互斥 B. C. D. 7. 已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，那么以下1003个方程中，有实数解的方程至少有（ ）个. A. 499 B. 500 C. 501 D. 502 8. 已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知一组数据：，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（ ） A 中位数不变 B. 平均数不变 C. 方差不变 D. 第40百分位数不变 10. 已知函数f(x)=sin(>0)满足:f()=2,f()=0,则( ) A. 曲线y=f(x)关于直线对称 B. 函数y=f()是奇函数 C. 函数y=f(x)在(,)单调递减 D. 函数y=f(x)的值域为[-2,2] 11. 如图所示，有一个棱长为4的正四面体容器，是的中点，是上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与所成的角为 B. 周长最小值为 C. 如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为 D. 如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在二项式的展开式中，常数项为______． 13. 已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为______时，圆锥的体积最大，最大值为______． 14. 对于任意两个正实数a，b，定义，其中常数．若，且与都是集合的元素，则__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数． （1）若是函数的极值点，求在处的切线方程． （2）若，求在区间上最大值． 16. 如图，在平行六面体中，，，，，点为中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 17. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回. （1）求第2次摸到红球概率； （2）设第次都摸到红球的概率为；第1次摸到红球的概率为；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求； （3）对于事件，当时，写出的等量关系式，并加以证明. 18. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，若一条斜率不为0直线过点与椭圆交于两点，椭圆的左、右顶点分别为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值． 19. 约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为. （1）当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值； （2）当时，若构成等比数列，求正整数； （3）记，求证：. 第1页/共1页 学科网（北