精品解析：云南曲靖市宣威市第七中学2026届高三下学期第一次月考数学试卷

宣威七中2026届高三春季学期第一次月考卷 数 学 一、单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面中对应的点到原点的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线l与直线交于点P，与直线交于点Q，且线段PQ的中点是，则l的斜率为（ ）． A. B. C. D. 4. 已知是不共线的向量，且，则（） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 5. 已知公比不为1的等比数列的前项和为，且成等差数列， 则 A. B. C. D. 6. 已知函数，且，，，则的大小关系（ ） A. B. C. D. 7. 对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查.若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是 A. 48 B. 72 C. 84 D. 168 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组样本数据通过计算得到线性回归方程为，若，则 B. 有一组数1，2，3，5，这组数的第百分位数是3 C. 随机变量，若，，则 D. 在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过 10. 函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于对称 C. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 D. 若方程在上有1个实数根，则m的取值范围是 11. 在正四棱锥中，，侧棱与底面所成的角为60°，则（ ） A. 该正四棱锥的高为 B. 该正四棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为 C. 该正四棱锥的外接球的半径为 D. 该正四棱锥的相邻两侧面所成角为90° 三、填空题 12. 设n为正整数，若的展开式共有7项，则此展开式中含的项的系数为__________． 13. 已知平面上两定点，，若动点P满足，则P到抛物线的焦点F的最小距离为______． 14. 的内角的对边分别为.已知，则的面积为__________. 四、解答题 15. 已知等差数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和，并证明． 16. 某食盐厂生产标准质量为500克的袋装食盐，由于各种因素，实际质量与标准质量或多或少会存在一些误差，误差在克以内视为质量合格，现为了检测一条自动流水线的机器运行情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐检测它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为，，…，且由样本数据绘制频率分布直方图如图： （1）求a的值； （2）从质量不合格的食盐样本中，随机抽取3袋，其中质量在的食盐袋数记为X，求X的分布列和期望． 17. 如图，四棱锥中，，，平面⊥平面. （1）若，证明：； （2）若，，求长度的取值范围. 18. 如图，在平面直角坐标系中，焦点在上的椭圆:经过点，其中为椭圆的离心率.过点作斜率为的直线交椭圆于两点（在轴下方）. （1）求椭圆的方程; （2）过原点且平行于的直线交椭圆于点，求的值; （3）记直线与轴的交点为，若，求直线的斜率. 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）求的极值； （3）设a，b为两个不相等的正数，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣威七中2026届高三春季学期第一次月考卷 数 学 一、单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别解不等式得到集合，再求并集即可． 【详解】由，解得或，则， 由，得，，解得，则， 所以． 2. 已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面中对应的点到原点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算化简z, 复数在复平面中对应的点到原点的距离为利用模长公式即得解. 【详解】由题意知复数在复平面中对应的点到原点的距离为 故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题. 3. 若直线l与直线交于点P，与直线交于点Q，且线段PQ的中点是，则l的斜率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设，由线段PQ的中点是可求解，得到两点坐标，利用斜率公式即得解 【点睛】由题意，点P在直线上，点Q在直线上 设 故 解得： 故 则l的斜率为 故选：D 4. 已知是不共线的向量，且，则（） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量加法求出，再观察与的线性关系，得出，两向量成倍数关系即共线，又有公共点，即可判定三点共线，其余选项向量无倍数关系，不满足三点共线条件. 【详解】. 选项A：，，不存在实数使等式成立，不共线. 选项B：，，不存在实数使等式成立，不共线. 选项C：，，不存在实数使等式成立，不共线. 选项D：计算， ，存在，故与共线， 又两向量有公共点，因此三点共线. 5. 已知公比不为1的等比数列的前项和为，且成等差数列， 则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，则由得，，即，解得或（舍去），又由得，所以， ，故选D. 6. 已知函数，且，，，则的大小关系（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得，得到在上单调递增，结合，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当，可得，且，所以，在上单调递增， 因为，所以，所以， 所以，即. 7. 对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】若对数函数存在，则底数且； 若表示双曲线，则，即， 综上，若两者均存在，则或. 而2在上述区间内， 所以是对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件. 8. 某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查.若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是 A. 48 B. 72 C. 84 D. 168 【答案】D 【解析】 【分析】 分两步，第一步选2名理科班的学生检查文科班，第二步，理科班检查的方法，需要分三类，根据分布和分类计数原理可得. 【详解】第一步：选2名理科班的学生检查文科班，有种 第二步：分三类 ①2名文科班的学生检查剩下的2名理科生所在的班级，2名理科生检查 另2名理科生所在的班级，有种 ②2名文科班的学生检查去文科班检查的2名理科生所在班级，剩下的2名理科生 互查所在的班级，有种 ③2名文科生一人去检查去文科班检查的2名理科生所在的班级的一个和一人去 检查剩下的2名理科生其中一个所在的班级，有种 根据分步分类技术原理可得，共有不同的安排方法 故选：D 【点睛】本题考查的是分步分类计数原理及排列组合的知识，怎么将一个复杂的事情进行合理的分步分类去完成是解题的关键. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组样本数据通过计算得到线性回归方程为，若，则 B. 有一组数1，2，3，5，这组数的第百分位数是3 C. 随机变量，若，，则 D. 在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A：线性回归方程必过样本中心点， 代入，得，解得，故A正确； 选项B：计算第百分位数的位置，是整数， 故第百分位数是第3个和第4个数据的平均值，即，故B错误； 选项C：二项分布满足，， 代入得，解得，则，故C错误； 选项D：在的独立性检验中，若， 则原假设不成立，故两变量不独立，则犯错误的概率不超过，故D正确． 10. 函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于对称 C. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 D. 若方程在上有1个实数根，则m的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】由图象可知，又图象经过点列方程求，判断A；结合余弦函数性质验证B；根据函数图象变换法则，结合诱导公式判断C；令，可得在上有1个实数根，结合正弦函数性质判断D. 【详解】观察函数的图象可知，又因为过点， 所以，所以，， 所以，，又，所以，A错误； 所以， 因为时，， 所以函数的图象关于对称，B正确； 函数向左平移个单位长度， 可得函数的图象，所以C正确； 因为，由可得，， 令，由已知可得在上有个实数根， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 且时，，时，， 所以或，D错误. 11. 在正四棱锥中，，侧棱与底面所成的角为60°，则（ ） A. 该正四棱锥的高为 B. 该正四棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为 C. 该正四棱锥的外接球的半径为 D. 该正四棱锥的相邻两侧面所成角为90° 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：设底面中心为，连接，则底面,则，结合底面边长可求解；对于B：过作，连接，则为所求角，结合边长值求解；对于C：作的平分线，易知，即，则线段的长即为该正四棱锥的外接球的半径长，在中可求解；对于D：作，垂足为点，连接，则为二面角的平面角，在中利用余弦定理求解. 【详解】 对于A：如图，连接，，设交点为，则底面，所以，，所以，所以A选项正确； 对于B：作，垂足为点，连接，则为二面角的平面角，易得，，所以，所以B选项不正确； 对于C：作的平分线，交于点，则，所以线段的长即为该正四棱锥的外接球的半径长，易得，所以，所以C选项正确； 对于D：作，垂足为点，连接，易得，则为二面角的平面角，由，得，所以，所以D选项不正确. 三、填空题 12. 设n为正整数，若的展开式共有7项，则此展开式中含的项的系数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二项展开式的项数特征求出的值，再利用通项公式确定含的项对应的参数，进而计算系数。 【详解】二项式的展开式共有项， 由题意展开式共7项，故，解得， 二项式的展开式通项为， 化简得， 令 ，解得， 所以含的项的系数为. 13. 已知平面上两定点，，若动点P满足，则P到抛物线的焦点F的最小距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点，由题设等式代入坐标化简即得点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，利用圆的几何性质即可求得答案. 【详解】设点，由可得， 两边平方，得，即， 故点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 因抛物线的焦点为，则， 根据圆的几何性质可知， P到抛物线的焦点F的最小距离为. 14. 的内角的对边分别为.已知，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【详解】的内角的对边分别为. ， 利用正弦定理可得， 由于， 所以， 所以，则或 由于，故为锐角，所以， 由，得，解得， 所以. 四、解答题 15. 已知等差数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和，并证明． 【答案】（1） （2），证明见解析. 【解析】 【小问1详解】 设等差数列的公差为d．因为， 所以解得 所以的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知． 因为， 所以 因为，所以． 16. 某食盐厂生产标准质量为500克的袋装食盐，由于各种因素，实际质量与标准质量或多或少会存在一些误差，误差在克以内视为质量合格，现为了检测一条自动流水线的机器运行情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐检测它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为，，…，且由样本数据绘制频率分布直方图如图： （1）求a的值； （2）从质量不合格的食盐样本中，随机抽取3袋，其中质量在的食盐袋数记为X，求X的分布列和期望． 【答案】（1） （2） X 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）由频率和为1列方程求参数值； （2）首先确定随机变量的可能值，应用超几何分布的概率求法求对应概率，写出分布列，进而求期望. 【小问1详解】 由直方图得，则； 【小问2详解】 区间中有5袋食盐，区间中有5袋食盐， 且质量不合格的食盐所在区间为和， 从中随机抽取3袋，则X的所有可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以. 17. 如图，四棱锥中，，，平面⊥平面. （1）若，证明：； （2）若，，求长度的取值范围. 【答案】（1）证明见详解； （2）. 【解析】 【分析】（1）通过证明垂直平面与平面的交线，利用平面与平面垂直的性质定理来证明线面垂直，再利用线面垂直的性质定理证得两直线垂直； （2）建立空间直角坐标系，将垂直关系、线段长度都转化成坐标运算，设，通过解得或，分别代入计算可得结果. 【小问1详解】 设平面平面， 平面平面，平面， 又平面，平面平面，， ，， 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面， 即. 【小问2详解】 在中由余弦定理可得，则有, 即. 又 以点为原点，以，平面的垂线所在直线分别为轴，建立如图坐标系，则， 设，则, 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 同理可求平面的一个法向量为， 由于平面平面，则，故则. 又，， ，解得或. 若，则; 若，则. 综上所述，长度的取值范围. 18. 如图，在平面直角坐标系中，焦点在上的椭圆:经过点，其中为椭圆的离心率.过点作斜率为的直线交椭圆于两点（在轴下方）. （1）求椭圆的方程; （2）过原点且平行于的直线交椭圆于点，求的值; （3）记直线与轴的交点为，若，求直线的斜率. 【答案】（1）. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆过点以及之间的关系式，即可待定系数法求解； （2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，表示出，设直线的方程为代入椭圆的方程，可表示出，即可求出结果； （3）由（2）知，，，则，，结合，即可联立得到关于的方程，求解即可. 【小问1详解】 由椭圆过点，得， 又， 所以，解得或（舍去）， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，， 联立直线与椭圆的方程可得， 整理可得， 所以， 又， 所以 ， 由题意设直线的方程为， 代入椭圆的方程可得， 所以，所以， 所以， 所以，即的值为. 【小问3详解】 由（2）知，，， 则，， 因为，所以，所以， 由（2）得， 故，故， 故，故， 所以得，解得， 又，所以.所以直线的斜率为. 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）求的极值； （3）设a，b为两个不相等的正数，且，证明：． 【答案】（1） （2）极大值为1，无极小值 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得，得到切线的斜率和切点的坐标，结合导数的几何意义，即可求解； （2）求得，根据导数的正负，进而求得原函数的单调区间，得到函数的极值； （3）根据题意，化简得到，令，得到， 转化为证明，分别证明不等式的两个方向，先将函数变形成的极值点偏移问题，构造对称函数及新函数，结合导数求得函数的最值，即可得证． 【小问1详解】 由函数，可得， 则且 所以切线的斜率为，切点坐标为， 所以函数在处的切线方程，即. 【小问2详解】 解：由函数，可得其定义域为，且 当时；当时，， 故在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以的极大值为，无极小值． 【小问3详解】 证明：由，变形为，所以， 令，则上式可变为， 所以命题转换为证明：， 因为，则有，不妨设， 由（2）知：，，先证． 要证，即，即证， 即证，即， 令， 可得， 因为，所以 所以在区间内单调递增，所以，即． 再证， 因为，所以，所以， 只需证， 令，所以， 所以在区间内单调递增，所以, 可得，即． 综合可得，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $