微专题01 平面向量-2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

微专题01 平面向量 【秒杀总结】 结论1：极化恒等式 1、平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明：不妨设，，则， （1） （2） （1）（2）两式相加得： 2、极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 （1）平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． （2）三角形模式：（M为BD的中点） 结论2：矩形大法：矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等． 已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：． 【证明】（坐标法）设，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy， 则，设，则 结论3：三点共线的充要条件 设、、是三个不共线向量，则A、B、P共线存在使． 特别地，当P为线段AB的中点时，． 结论4：等和线 【基本定理】 （一）平面向量共线定理 已知，若，则三点共线；反之亦然． （二）等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线． （1）当等和线恰为直线时，； （2）当等和线在点和直线之间时，； （3）当直线在点和等和线之间时，； （4）当等和线过点时，； （5）若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 结论5：奔驰定理 【奔驰定理】若O为内任一点，且，则 【典型例题】 例1．在中，是的中点，，则____． ． 例2．（2024·江西新余·高三统考期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（    ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 例3．正三角形内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则的取值范围是 ． 例4．已知圆与，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是 ． 的轨迹是以为圆心，半径为的圆， ， ． 例5．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动．若，其中，则的最大值是__________． 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·山东·高三山东省实验中学校联考开学考试）已知向量满足，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京西城·高三北京师大附中校考开学考试）如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（    ）    A．10 B．13 C．18 D．26 3．（2024·云南保山·高三统考期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·校联考模拟预测）在等腰中，角A，B，C所对应的边为a，b，c，，，P是外接圆上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·北京通州·高三统考期末）在菱形中，是的中点，是上一点（不与，重合），与交于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，，动点P满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．P的轨迹为圆 B．P到原点最短距离为1 C．P点轨迹是一个菱形 D．点P的轨迹所围成的图形面积为4 7．（2024·全国·统考模拟预测）键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要．有机物萘可以用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形．已知与为全等的正六边形，且，点为该图形边界（包括顶点）上的一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·辽宁辽阳·高三统考期末）在中，，D为AB的中点，，P为CD上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2024·湖北襄阳·高三枣阳一中校联考期末）已知直线，圆，且圆过点，直线与圆交于两点，下列结论中正确的是（    ） A．圆的半径为2 B．直线过定点 C．的最小值是 D．的最大值是0 12．（2024·贵州·校联考模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，且，则为直角三角形 B．若，，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 C．若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形 D．若，则为钝角三角形 13．（2024·安徽淮北·统考一模）如图，边长为2的正六边形，点是内部（包括边界）的动点，，，.（    ）    A． B．存在点，使 C．若，则点的轨迹长度为2 D．的最小值