6.4 与圆有关的位置关系-【一战成名新中考】2024云南中考数学·基础夯实练

基础夯实练·云南数学 命题点４　与圆有关的位置关系（必考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） １．探索并掌握点与圆的位置关系； ２．了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念； ３． 探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等． 图１ 要点归纳 １．点与圆的位置关系：如图１，设⊙Ｏ的半径为ｒ，平面内一点到圆心的距离为 ｄ． （１）点在圆外ｄ①　＞　ｒ，如点Ａ； （２）点在圆上ｄ②　＝　ｒ，如点Ｂ； （３）点在③　圆内　 ｄ④　＜　ｒ，如点Ｃ． ２．直线与圆的位置关系：设⊙Ｏ的半径为ｒ，圆心到直线ｌ的距离为ｄ． 位置关系 相离 相切 相交 ｄ与ｒ的关系 ｄ⑤　＞　ｒ ｄ⑥　＝　ｒ ｄ⑦　＜　ｒ 公共点的个数 ０ ⑧　１　 ⑨　２　 示意图 ３．切线的性质与判定 （１）切线的定义：直线和圆有⑩　唯一　的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫作圆的 切线，这个瑏瑡　唯一　的公共点叫作切点； （２）切线的性质：圆的切线瑏瑢　垂直于 　过切点的半径． 注：圆心到切线的距离等于半径． （３）切线的判定： 图２ ①定义法：满足切线的定义即可得证； ②判定定理法 具体内容：过半径外端且瑏瑣　垂直于　半径的 直线是圆的切线； 运用情况：直线与圆的公共点明确； 步骤：如图２，连接ＯＡ，证明ＯＡ⊥ＣＤ； 简称：公共点明确，连半径，证垂直           ． ７０１ 基础夯实练·云南数学 图３ ③距离法 具体内容：若圆心到直线的距离瑏瑤　等于　圆的半径，则此 直线是圆的切线； 运用情况：直线与圆的公共点不明确； 步骤：如图３，过点Ｏ作ＯＡ⊥ＣＤ于点Ａ，证明ＯＡ＝ｒ； 简称：公共点不明确，作垂直，证与半径相等           ． 公共点明确，连半径，证垂直 例１　如图，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，点Ｄ为⊙Ｏ上 一点，连接 ＢＤ，点 Ｐ为 ) ＢＤ的中点，过点 Ｐ作 ＰＣ∥ＤＢ，交ＡＢ的延长线于点Ｃ． 求证：ＣＰ与⊙Ｏ相切． 例１题图 证明：如解图，连接ＯＰ，交ＢＤ于点Ｅ， ∵点Ｐ为 ) ＢＤ的中点，∴ＢＤ⊥ＯＰ， ∴∠ＯＥＢ＝９０°， ∵ＢＤ∥ＣＰ，∴∠ＯＥＢ＝∠ＯＰＣ＝９０°， ∴ＰＣ⊥ＯＰ， ∵ＯＰ为⊙Ｏ的半径，∴ＣＰ与⊙Ｏ相切． 公共点不明确，作垂直，证与半径相等 例２　如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＢＤ 是∠ＡＢＣ的平分线，以点Ｄ为圆心，ＤＡ长为 半径作⊙Ｄ． 求证：ＢＣ是⊙Ｄ的切线． 例２题图 证明：如解图，过点Ｄ作ＤＦ⊥ＢＣ于点Ｆ， ∵∠ＢＡＤ＝９０°，ＢＤ平分∠ＡＢＣ， ∴ＡＤ＝ＤＦ， ∴ＤＦ是⊙Ｄ的半径， ∵ＤＦ⊥ＢＣ， ∴ＢＣ是⊙Ｄ的切线                                                                                                 ． ４．切线长定理 图４ （１）切线长：过圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段长叫作 这点到圆的切线长． （２）切线长定理：从圆外一点可以引圆的瑏瑥　两　条切线，它们的切线 长瑏瑦　相等 　，这一点和圆心的连线瑏瑧　平分　 两条切线的夹 角．如图４，可得以下结论： ①ＡＢ＝ＡＣ；②ＡＯ⊥ＢＣ；③ＢＤ＝ＣＤ；④ ) ＢＥ＝ ) ＣＥ；⑤ＯＢ⊥ＡＢ，ＯＣ⊥ＡＣ； ⑥∠１＝∠２，∠３＝∠４；⑦点Ａ，Ｂ，Ｏ，Ｃ四点共圆． 随堂练习 １．（人教九上Ｐ１０１第１题改编）在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝３，ＢＣ＝４， （１）如图①，以Ｃ为圆心，ｒ长为半径作⊙Ｃ． ①若点Ａ在⊙Ｃ外，则ｒ的取值范围是　０＜ｒ＜３　； ②若点Ａ在⊙Ｃ上，则直线ＡＢ与⊙Ｃ的位置关系是　相交　； ８０１ 基础夯实练·云南数学 ③若△ＡＢＣ只有两个顶点在⊙Ｃ内，则ｒ的取值范围是　３＜ｒ≤４　； 图① 　　 图② 第１题图 （２）如图②，Ｄ为边ＡＢ的中点，以Ｄ为圆心，ｒ长为半径作⊙Ｄ． ①当点Ｃ在⊙Ｄ上时，ｒ＝　　　　，此时点Ａ在