6.2 垂径定理及其推论&6.3 圆周角定理及其推论-【一战成名新中考】2024云南中考数学·基础夯实练

基础夯实练·云南数学 命题点２　垂径定理及其推论（８年１考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） 探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧． 要点归纳 １．垂径定理及其推论 （１）定理：垂直于弦的直径①　平分　弦，并且②　平分　弦所对的两条弧； （２）推论：平分弦（不是直径）的直径③　垂直　于弦，并且④　平分　弦所 对的弧． “知二推三”———如图，根据圆的对称性，有以下五个结论：①ＣＤ是 ⊙Ｏ的直径；②ＡＢ⊥⑤　ＣＤ　；③ＡＥ＝⑥　ＢＥ　；④ ) ＡＣ＝ ) ＢＣ；⑤ ) ＡＤ＝ ⑦　 ) ＢＤ　．只要满足其中两个，  另外三个结论一定成立． ２．垂径定理的应用 （１）过圆心作弦（非直径）的垂线，连接圆心和弦的一个端点（即半径），构造直角三角形，运 用勾股定理或锐角三角函数进行相关计算； （２）求圆内两条平行弦间的距离时，需要分情况讨论： 已知弦ＡＢ、弦ＣＤ、⊙Ｏ的半径长，若ＡＢ∥ＣＤ，求两条弦之间的距离ｄ 情况一：当两条弦位于圆心同侧时 情况二：当两条弦位于圆心异侧时 利用勾股定理，在 Ｒｔ△ＯＢＥ中求出 ＯＥ，在 Ｒｔ△ＯＤＦ中求出ＯＦ，ｄ＝ＯＦ－ＯＥ 利用勾股定理，在Ｒｔ△ＯＢＥ中求出ＯＥ，在 Ｒｔ△ＯＤＦ中求出ＯＦ，ｄ＝ＯＦ＋ＯＥ 第１题图 随堂练习 １．（人教九上Ｐ８３练习１改编）如图，⊙Ｏ的直径ＡＢ为１０，弦ＣＤ⊥ＡＢ，垂 足为点Ｅ，连接ＯＣ，ＯＤ，ＡＣ． （１）有以下结论：①ＣＥ＝ＤＥ，②ＯＥ＝ＢＥ，③ ) ＡＣ＝ ) ＡＤ，④ ) ＣＢ＝ ) ＤＢ．其中正确的 是　①③④　；（填序号） （２）若∠ＡＯＣ＝１２０°，则∠ＣＯＤ＝　１２０　°，∠ＯＤＣ＝　３０　°； （３）若ＣＤ＝８，则ＣＥ＝　４　，ＯＥ＝　３　，ＢＥ＝　２　，ｔａｎ∠ＯＣＥ＝　　　　； （４）若将⊙Ｏ在ＣＤ下方部分向上翻折，劣弧ＣＤ恰好经过圆心Ｏ，则ＣＤ的长为　５槡３　． （５）（较难 獉獉 ）若弦ＭＮ∥ＣＤ，ＣＤ＝６，ＭＮ＝８，则ＭＮ与ＣＤ之间的距离为　１或７　． ４０１ 基础夯实练·云南数学 命题点３　圆周角定理及其推论（８年３考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） 探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧）所对的圆周角相等．了解并证明圆周角定 理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，９０°的圆周角所对的 弦是直径；圆内接四边形的对角互补． 要点归纳 １．圆周角定理及其推论 （１）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的①　一半　． （２）圆周角定理的推论 推论１：同弧或等弧所对的圆周角②　相等　； 推论２：半圆（或直径）所对的圆周角是③　直角　 ；９０°的圆周角所对的弦是④　直径　． 圆周角定理 圆周角定理的推论 图形 表示 推论１ 推论２ 结论 ∠ＡＰＢ＝⑤　　　∠ＡＯＢ ∠１⑥＝　∠２∠ＡＣＢ＝⑦　９０° 易错警示：已知圆内一条弦和其对应的圆心角，求其对应的圆周角时要  分情况讨论： 情况一：弦所对圆周角和圆心角在弦的同侧 情况二：弦所对圆周角和圆心角在弦的异侧 β＝⑧　　　　 β＝⑨　　　　 ２．圆内接四边形的性质 （１）圆内接四边形的对角⑩　互补　，如图１，∠Ｂ＋∠ＡＤＣ＝瑏瑡　１８０°　； （２）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（和它相邻的内角的对角），如图 １， ∠ＡＤＥ＝瑏瑢　∠Ｂ　； 图１ 　　　　　　 图２ （３）连接圆内接四边形的两条对角线，则必然存在两组相似三角形，如图２，△ＡＤＦ∽瑏瑣　△ＢＣＦ　， △ＡＢＦ∽瑏瑤　△ＤＣＦ　． ５０１ 基础夯实练·云南数学 随堂练习 １．（人教九上Ｐ８７例４改编）如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ，Ｄ是⊙Ｏ上异于Ａ，Ｂ的两点． （１）若点Ｃ是 ) ＡＢ的中点，则△ＡＢＣ的形状是　等腰直角三角形　； （２）若点Ｃ是 ) ＡＢ的中点，∠ＡＢＤ＝６０°，则∠ＤＡＣ＝　７５　°； 第１题图 （３）若 ) ＡＣ＝２ ) ＢＣ，则∠ＣＡＢ＝　３０　°，∠ＣＯＢ＝　６０　°； （４）若∠ＡＢＣ＝７２°，则∠ＣＤＢ＝　１８　°； （５）若ＢＣ＝ＯＣ，则∠ＢＡＣ＝　３０　°，ｔａｎ∠ＣＤＢ＝　　　　； （６）若ＢＣ＝３，∠ＣＤＢ＝３０°，则ＡＢ＝　６　； （７）若ＡＢ⊥ＣＤ，∠ＢＡＣ＝１５°，ＡＢ＝４槡２，则∠