北京大学2024年优秀中学生寒假学堂数学试题

北京大学2024年优秀中学生寒假学堂数学试题 2024年1月22日 1.钝角△4BC面积为3.AB=4.AC=1,求AB,AC的值 2.四面体ABCD体积为6.AB⊥BC,BC⊥CD,AB=BC=CD=2√5，求异面直线AD 与BC的夹角 3.在正方形ABCD所在的平面内找一点P.使得△PAB,△PBC,△PCD,△PDA均为等腰 三角形，求P的个数 4.设(x2+x-)=a+ax+…+amx”+am20.求 2a。-a1-a2+2a-a4-a5+…+2a1w-a1g-a2n的值 5.A,B,C为△ABC内角，x,八，：为实数求以下三式中恒成立的个数 x+y+2-2yzsin A-2zxsin B+2xy cosC0 x+y+z-2yzsin A+2zxsin B-2xycosC0 x+y++2yzsin A+2zxsin B-2xycosC20 6.A4BC中，求3sinA+4sinB+18sinC的最大值 7.在平面直角坐标系xOy中，方程m(x2+y2+2y+)=(x-2y+3)表示椭圆求m的取 值范围 8.△MBC中，AB=3,BC=4,AC=5,分别在AC.BC上各取一点D,E,使DE平分 AABC的面积.求DE长度的最小值 9.a,b,c为正实数.满足a+b+c=l.求a+√6+c的最大值 10.等差数列{a,}中，4>0.公差d<0,<-l,求最大的正整数n.使S,>0 11.首项是整数的等差数列.公差d=4,前n项和S,=2024,求所有n值的和 12.复平面：+：=1与=1交点个数 13.a,b,c,deR,a+b+c+d=10.求N+a+4+b+9+c+6+d 14.整数列{0n}.n≥0，U。=1,对Vn≥1有UnUn1=kU,k为固定正整数.求使 U4=2024成立的k的个数 10 15.使 =2024恰有2个整数解的正整数n的值为 16.设+反+万=a+h万+c万+d.4,a,6,cdeZ.则mb a = 17,用6种不同颜色染正方体的6个面，不同面颜色不同.正方体旋转后颜色相同认为是同 种染色，则染色的种数有多少？ 18.x∈R,∫(x)=L2x+l4x+l6x+8x」，则不超过2024的正整数中可以作为f(x) 函数值的个数为 19.从1,2，…，2024中任取两数a,b(可以相同).则3°+7个位为8的概率 1.答案：2或-2 解折：5=号4B4CsnA=2m4=5,解得snA= 2 若4=号则a=4+-24=店满足题意.此时孤C=4l2:若 4则孤C=4》-2所以孤C-2-2 解析：建立空间直角坐标系.不妨设C(0,0,0),D(2√5,0,0)，B0,0,25.设 AB2=x2+y2=12 4(x2W).则 V=名252=6·解得=5.y=3,此时 AD=(x-25x,25) BC=(0,0-2).因此D=Vx-25+y+12=V36-4=26或45 -12 3.答案：9 解析：首先两条对角线的交点为所求，另外分别以四个项点为圆心以边长为半径作四个圆， 则它们在正方形里面和外面的交点一共有8个合计是9个 4.答案：2 解折取三次单位根0≠1.易证+0+1=0,0=-+5.0心=-}5 22 22 在原式中，令x=0,则有2=a,+a0+a02++am0”.对上式取实部可得 11 1。 11 2=4-24一24+4-20+a。一24m20。,图此所求多项式的值为2 5.答案：三个 选定x为主元，对①式配方可得 x-2(sin B-ycosC)x+y+-2yzsin A =(x-(=sin B-ycosc))+y+:-2yzsin A-(=sin B-ycosC) =(x-(=sin B-ycosC))+y+=-2ysin(B+C)-(=sin B-ycosc) =(x-(=sin B-ycosC))+(ysinC-:cos B)20 从而①恒成立对于2类似地有 x+2(=sin B-ycosC)x+y2+:-2yzsin A =(x+(=sinB-ycosC))+(ysinC-=cosB)20 即2恒成立对于3我们有 x2+2(:cosB-ycosC)x+y+:+2ycosA =(x+(=cosB-ycosC)+y+=+2yzcosA-(=cosB-ycosC) 因此当x=ycosC-=cosB时其最小值为 y++2ycosA-(zcosB-ycosC) =y+2-2yzcos(B+C)-cos'B-y cos2C+2yz cos BcosC =y'sin'C+sin'B+2yzsin BsinC=(ysinC+:sin B)0 即3恒成立，因此三个式子均恒成立 6.答案： 35W万 4 解析：由题意可知 3sin 4+4sin B+18sinC=3sin A+4sin(A+C)+18sin