大题03立体几何（两大经典题型）-【大题精做】冲刺2024年高考数学大题突破+限时集训（上海专用）

大题03立体几何（两大经典题型） 立体几何是上海大题新题型出现在24年春考和23年秋考第 17、18题.重点题型主要是二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算。 题型一：二面角的平面角及求法 （2023•上海）已知直四棱柱，，，，，． （1）证明：直线平面； （2）若该四棱柱的体积为36，求二面角的大小． 1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q． 2、二面角的平面角 在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O． 3、二面角的平面角求法： （1）定义； （2）三垂线定理及其逆定理； ①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直． ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角． （3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．； （4）平移或延长（展）线（面）法； （5）射影公式； （6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角； （7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法： 设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则 （1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞， 此时cosθ＝cos＜，＞＝． （2）当＜＜，＞＜π时，θ＝π﹣＜，＞， cosθ＝﹣cos＜，＞＝﹣． 1．（2023春•浦东新区校级月考）如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱垂直于底面，，是延长线上一点，且． （1）证明：直线平面； （2）求二面角的大小； （3）直线到平面的距离． 2．（2023秋•辽阳期末）如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面． （1）证明：． （2）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 3．（2023秋•香坊区期末）如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且． （1）求证：平面； （2）是线段中点，求平面和平面夹角的余弦值． 4．（2023秋•保定期末）在平行六面体中，已知，． （1）证明：平面； （2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值． 5．（2023秋•龙岗区期末）如图，在四棱锥中，，，，，． （1）求证：平面； （2）若，，，若平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值． 6．（2023秋•南关区校级期末）四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面． （1）证明：； （2）若，且与平面所成角的正弦值为，点在线段上且满足，求平面与平面所成角的余弦值． 7．（2023秋•慈溪市期末）如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，，分别是棱，上的动点． （1）若，分别为棱，中点，求证：平面； （2）若，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值． 8．（2023秋•信宜市期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小． 9．（2023秋•湖北月考）如图1，为等边三角形，边长为4，，分别为，的中点，以为折痕，将折起，使点到的位置，且，如图2． （1）设平面与平面的交线为，证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 10．（2023春•播州区校级月考）如图，在三棱锥中，，，为中点． （1）证明：平面； （2）若点为线段上靠近点的三等分点，且，求二面角的大小． 11．（2023秋•安徽月考）如图，在四棱锥中，棱平面，底面四边形是矩形，，点为棱的中点，点在棱上，． （1）求证：； （2）已知平面与平面的交线与直线所成角的正切值为，求二面角的余弦值． 12．（2023秋•垫江县校级月考）如图甲是由梯形，组成的一个平面图形，其中，，，，．如图乙，将其沿，折起使得与重合，连接，直线与平面所成角为． （1）证明：； （2）求图乙中二面角的正弦值． 13．（2023秋•河南月考）如图，在三棱锥中，，，，分别是线段，，的中点，，． （1）求证：平面； （2）若二面角的