冲刺小练习34：利用建系法来处理几何问题-2023-2024学年中考数学压轴模块冲刺专项练习

73 冲刺小练习 34：利用建系法来处理几何问题 ➢ 知识指引 建系法作为初中几何知识运用的一个工具，在化形为数的计算上有别样的作用，减少了对辅 助线的描述，同时减少了思考量，通过基本的计算可以达到问题的处理结果 ➢ 坐标系中点的作用 （1） 定位；（2）计算. ➢ 辅助公式 （1） 中点公式：对于 A（𝑥1,𝑦1），B（𝑥2,𝑦2）,则 AB的中点坐标为（ 𝑥1+𝑥2 2 ， 𝑦1+𝑦2 2 ）; （2） 两 点 之 间 的 距 离 公 式 ： 对 于 A （ 𝑥1 , 𝑦1 ） ， B （ 𝑥2 , 𝑦2 ） , 则 线 段 AB=√（𝑥1 − 𝑥2） 2 + （𝑦1 − 𝑦2） 2 ➢ 典型练习 1.如图，E 为正方形 ABCD 的边 AB 上一动点，过 E 作 EF∥BC 交 AC 于点 F，G 为 DE 的中点，连接 FG，AB=4，则 FG 的最小值是 ． 2.如图，矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4，AE 为∠BAD 的角平分线，F 为 AE 上一动 点，M 为 DF 的中点，连接 BM，则 BM 的最小值是 ． 3．（2021贺州）如图．在边长为 6的正方形 ABCD中，点 E，F分别在 BC，CD上，BC=3BE 且 BE=CF，AE⊥BF，垂足为 G，O是对角线 BD的中点，连接 OG、则 OG的长为________． 74 4.（2022•邯郸二模）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=2，BC=4，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△EDC，连接 AE． （1）∠CAE= ； （2）若 F 点为 AE 的中点，则 BF= ． 5.如图，已知直线 y=－x－5 分别交 x，y 轴于点 A，B （1）求线段 AB 的长； （2）若点 C，D 分别为线段 AO，AB 上的点，且满足 BD=√2AC，连接 CD，将线段 CD 绕点 D 顺时针旋转 90°，点 C 旋转后的对应点为点 E，连接 OE，当线段 OE 的长最小 时，求直线 DE 的函数解析式 【解】（1）∵点 B 的坐标为（6，4），四边形 OABC 是矩形； ∴BC=6，BA=4，点 D 的纵坐标为 4，点 E 的横坐标坐标为 6， 当点 D 是 BC 的中点时，CD＝ 1 2 BC＝3，∴点 D 的坐标为（3，4）， 把（3，4）代入 y＝ 𝑘 𝑥 得：k=12， ∵点 E 的横坐标坐标为 6，∴点 E 的坐标为（6，2）， 故答案为：12，（6，2）； （2）①由题意得，点 D 的坐标为（m,4），则 k=4m, 则反比例函数表达式为 y＝ 4𝑚 𝑥 ，当 x=6 时，y＝ 4𝑚 𝑥 ＝ 2𝑚 3 ， 即点 E 的坐标为(6， 2𝑚 3 )．故答案为：（6， 2𝑚 3 ）； ②证明：由①知，BD=6－m,BE＝4− 2𝑚 3 ， ∴ 𝐵𝐷 𝐵𝐶 ＝ 6−𝑚 6 ＝1− 1 6 m， 𝐵𝐸 𝐴𝐵 ＝ 4− 2𝑚 3 4 ＝1− 1 6 m，∴ 𝐵𝐷 𝐵𝐶 ＝ 𝐵𝐸 𝐴𝐵 ．又∵∠B=∠B， ∴△BDE∽△BCA． 冲刺小练习 34：利用建系法来处理几何问题 ➢ 知识指引 建系法作为初中几何知识运用的一个工具，在化形为数的计算上有别样的作用，减少了对辅 助线的描述，同时减少了思考量，通过基本的计算可以达到问题的处理结果 ➢ 坐标系中点的作用 （1） 定位；（2）计算. ➢ 辅助公式 （1） 中点公式：对于 A（𝑥1,𝑦1），B（𝑥2,𝑦2）,则 AB的中点坐标为（ 𝑥1+𝑥2 2 ， 𝑦1+𝑦2 2 ）; （2） 两 点 之 间 的 距 离 公 式 ： 对 于 A （ 𝑥1 , 𝑦1 ） ， B （ 𝑥2 , 𝑦2 ） , 则 线 段 AB=√（𝑥1 − 𝑥2） 2 +（𝑦1 − 𝑦2） 2 ➢ 典型练习 1.如图，E 为正方形 ABCD 的边 AB 上一动点，过 E 作 EF∥BC 交 AC 于点 F，G 为 DE 的中点，连接 FG，AB=4，则 FG 的最小值是 ． 【解】如图，以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系， ∵正方形 ABCD 的边长为 4，∴D（0，－4），C（4，－4）， 由 A（0，0），C（4，－4）可得直线 AC 解析式为 y=－x， 设 E（x，0）， ∵G 为 DE 的中点，∴G（ 1 2 x，－2），∵EF∥BC，∴F（x，－x）， ∴F