冲刺小练习32：几何问题中建构二次函数求最值问题-2023-2024学年中考数学压轴模块冲刺专项练习

69 冲刺小练习 32：几何问题中建构二次函数求最值问题 ➢ 几何图形建构函数关系式的核心： 图形运动的过程中，求两条线段之间、线段和面积之间、线段和比值之间的函数关系式，是 一模、二模和中考数学的热点问题，这些问题住住转化为线段之间的函数关系； ➢ 构建函数的依据及类型 （一）由勾股关系的产生建构勾股函数（二）由比例线段的产生构建相似函数 ➢ 典型练习 1.如图 1，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 上一点，过点 E 作 EF⊥AE，交 BC 于点 F，连接 AF，则 AF 的最小值是（ ） A．5 B．√7 C．2√2 D．3 图 1 图 2 2. 如图 2，直线 l 与⊙O 相切于点 Q，点 P 是⊙O 上的一个动点，设 PQ=x，点 P 到直线 l 的距离为 y．若⊙O 的半径为 2，设 S=x－y，则 S 的最大值是 ． 3.如图 3，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=4AB=8，E 为线段 AD 上一动点，以 CE 为 边向上构造正方形 CEFG，连接 BF，则 BF 的最小值是 ． 4.如图 4，在平面直角坐标系中，已知 A（－2，4）、P（－1，0），B 为 y 轴上 的动点，以 AB 为边构造△ABC，使点 C 在 x 轴上，∠BAC=90°，M 为 BC 的中 点，则 PM 的最小值为 ． 70 5.如图，点 O 是正方形 ABCD 的对称中心，射线 OM，ON 分别交正方形的边 AD， CD 于 E，F 两点，连接 EF；已知 AD=2． （1）以点 E，O，F，D 为顶点的图形的面积为 ； （2）线段 EF 的最小值是 ． 6. （2023•越秀区一模）如图，矩形 ABCD 中，AB=6，BC=4，点 E，F 分别为 边 AB，CD 上的动点，且 AE=CF，将线段 EF 绕点 F 逆时针旋转 90°得到线段 FG，连接 DG． （1）当点 E 为 AB 的中点时，线段 DG 的长是 ； （2）当点 E 在边 AB 上运动时，线段 DG 的最小值是 7. 如图，四边形 ABCD 为平行四边形，AD=2，AB=6，∠DAB=60°，E 为边 CD 上 一点． （1）尺规作图：延长 AE，过点 C 作射线 AE 的垂线，垂足为 F（不写作法，保 留作图痕迹）； （2）当点 E 在线段 CD 上（不与 C，D 重合）运动时，求 EF•AE 的最大值． 冲刺小练习 32：几何问题中建构二次函数求最值问题 ➢ 几何图形建构函数关系式的核心： 图形运动的过程中，求两条线段之间、线段和面积之间、线段和比值之间的函数关系式，是 一模、二模和中考数学的热点问题，这些问题住住转化为线段之间的函数关系； ➢ 构建函数的依据及类型 （一）由勾股关系的产生建构勾股函数 在运动及变化的动态过程中，先对已知和未知线段进行代数式的表示，再利用直角三角形中 两直角边的平方和等于斜边的平方，从而建构相应的函数关系式； （二）由比例线段的产生构建相似函数 在运动及变化的动态过程中，找寻相应的相似三角形，利用对应边成比例，建构相应的相似 函数关系式 ➢ 典型练习 1.如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 上一点，过点 E 作 EF⊥AE，交 BC 于 点 F，连接 AF，则 AF 的最小值是（ ） A．5 B．√7 C．2√2 D．3 【解】∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD=4，∠B=∠C=∠D=90°， ∴∠BAE+∠AEB=90°，设 BE=x，则 EC=BC－BE=4－x， ∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°，∴∠AEB+∠FEC=180°－∠AEF=90°， ∴∠BAE=∠FEC，∴△ABE∽△ECF，∴ 𝐴𝐵 𝐸𝐶 = 𝐵𝐸 𝐶𝐹 ， ∴ 4 4−𝑥 = 𝑥 𝐶𝐹 ，∴CF= 𝑥(4−𝑥) 4 =－ 1 4 x 2 +x=－ 1 4 （x－2） 2 +1，∴当 x=2 时，CF 最 大=1， 此时 DF 最 小=DC－CF=3，在 Rt△ADF 中，AF=√AD2 + DF2=√42 + DF2， ∴当 DF 最 小=3 时，AF 取最小值， ∴AF 最 小=√42 + 32=5，∴AF 的最小值是 5，故选：A． 2. 如图，直线 l 与⊙O 相切于点 Q，点 P 是⊙O 上的一个动点，设 PQ=x，点 P 到直线 l 的