冲刺小练习31：利用画弧来处理折叠落点不定类问题-2023-2024学年中考数学压轴模块冲刺专项练习

65 6.（1）如图 1，在△ABC 内有一点 D，且 AD=BD=CD，若∠BAC=40°，则 ∠DBC= ． （2）如图 2，在△ABC 中，∠CAB=∠CBA=45°，AB=5√2，作线段 CD=3，将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 90°得到线段 CE，连接 DE、AD、BE．求证：△ACD≌△ BCE； （3）在（2）的条件下，设 AD、BE 所在直线交于点 Q（如图 3），求△ABQ 面 积的最小值． 图 1 图 2 图 3 66 冲刺小练习 31：利用画弧来处理折叠落点不定类问题 ➢ 知识导入 如图，点 C 为△OAB 边 OB 上任意一点，将△OAC 沿着 OB 所在的直线对折得到△ OA′C，在折叠过程中，则点 A′可以看作在以 O 为圆心，OA 的长为半径的圆上 运动，以此我们可以来处理折叠后落点不定问题 ➢ 思路点拨 第一步:借助圆规等工具作出落点; 第二步:根据落点确定折痕; 第三步:根据不同的落点位置，分类讨论求解. ➢ 典型练习 1.已知在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，点 P 在 AB 上．若将△DAP 沿 DP 折叠，使点 A 落在 矩形对角线上的 A′处，则 AP的长为 ． 2.如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，AD=6，点 E为 AB上一点，AE=2√3，点 F在 AD上，将△AEF 沿 EF 折叠，当折叠后点 A 的对应点 A′恰好落在 BC 的垂直平分线上时，折痕 EF 的长 为 ． 67 3.如图，在矩形 ABCD 中，AB=2AD=6，点 P 为 AB 边上一点，且 AP≤3，连接 DP，将△ADP 沿 DP 折叠，点 A 落在点 M 处，连接 CM，BM，当△BCM 为等腰三角 形时，BP 的长为 ． 4.如图，在边长为 3 的等边三角形 ABC中，点 D为 AC上一点，CD=1，点 E为边 AB 上不 与 A，B重合的一个动点，连接 DE，以 DE为对称轴折叠△AED，点 A 的对应点为点 F，当 点 F 落在等边三角形 ABC的边上时，AE 的长为 ． 5.如图△ABC 的面积为 22，AB=11，AC=5，点 P 在边 AB 上（点 P 与点 A 不重 合），连结 CP，作点 A 关于直线 CP 的对称点 A′，连结 A′P、A′C． （1）点 C 到直线 AB 的距离是 ． （2）设点 A′与点 B 的距离为 d,则 d 的最小值为 ． （3）当△A′CP 为等腰三角形时，求 AP 的长． 68 6. （2020•荔湾区一模）如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，点 P 是边 AB 上 的一动点，连接 DP． （1）若将△DAP 沿 DP 折叠，点 A 落在矩形的对角线上点 A′处，试求 AP 的 长； （2）点 P 运动到某一时刻，过点 P 作直线 PE 交 BC 于点 E，将△DAP 与△PBE 分别沿 DP 与 PE 折叠，点 A 与点 B 分别落在点 A′，B′处，若 P，A′，B′三 点恰好在同一直线上，且 A′B′=2，试求此时 AP 的长； （3）当点 P 运动到边 AB 的中点处时，过点 P 作直线 PG 交 BC 于点 G，将△DAP 与△PBG 分别沿 DP 与 PG 折叠，点 A 与点 B 重合于点 F 处，请直接写出 F 到 BC 的距离． 此时，∠CDQ=∠DQB=∠DCE=90°，∴四边形 CDQE 为矩形，∵CD=CE， ∴四边形 CDQE 为正方形，∴DQ=EQ， ∵∠CAB=∠CBA=45°，AB=5√2，∴BC=AC= √2 2 AB=5， ∵CD=CE=3，∴AD=BE=√52 − 32＝4，∴AQ+BQ=AD+DQ+BQ=AD+BE=8， 若 AD 与 CD 不垂直时，如图 2， 过 C 作 CF⊥AQ 于点 F，作 CG⊥BQ 于 G， ∵∠AQG=90°，∴四边形 CFQG 是矩形， ∴∠FCG=90°=∠DCE，∴∠DCF=∠ECG， ∵CD=CE，∠CFD=∠CGE=90°，∴△CDF≌△CEG（AAS），∴CF=CG， ∴四边形 CFQG 为正方形，∴QF=QG，∴AQ+BQ=AF+FQ+BQ=AF+QG+BQ=AF+BG， ∵AF=BG=√52 − 𝐶𝐺2，∵CG＜CE，CE=3，∴AF=BG＞4，∴AQ+BQ＞8， 由上可知，当 CD⊥AD 时，AQ+BQ 的最小值为 8． ∵S△ ABQ= 1 4