冲刺小练习30：利用圆的切线来处理最大张角问题-2023-2024学年中考数学压轴模块冲刺专项练习

63 冲刺小练习 30：利用圆的切线来处理最大张角问题 ➢ 知识提点 米勒定理 :如图所示.点 A、点 B 是∠MON 边 ON 上的两个定点，点 P 是 OM 上一动 点，则当且仅当△APB 的外接圆与边 OM 相切于点 P 时，∠APB 最大.如图中的∠ AP′B 最大. ➢ 模型识别 ①平面内有定点 A，B 以及定直线 l; ②)P 是直线上的一个动点; ③求∠APB 的最大值以及∠APB 最大时的点 P ➢ 解题策略 方法：过定点 A，B 作圆与直线 1 相切于点 P 结论：∠AP′B 即为∠APB 的最值 核心:找定点、确定线、作切圆 64 ➢ 典型练习 1.如图，已知 A、B 两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C 的圆心坐标为 （－2，0），半径为 2．若 D 是⊙C 上的一个动点，线段 DA 与 y 轴交于点 E， 则△ABE 面积的最小值是______． 图 1 图 2 图 3 2.如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是 CD 边上一点，连接 AE，过点 B 作 BG⊥AE 于点 G，连接 CG 并延长交 AD 于点 F，则 AF 的最大值是 ． 3.（2019十堰）如图，正方形 ABCD和 Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接 BF，DE．若△ AEF绕点 A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝ ． 4.（2023•海珠区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，y 轴的正半轴（坐标原 点除外）上两点 A（0，7）、B（0，3），C 为 x 轴的正半轴（坐标原点除外）上一 动点．当∠ACB 取最大值时，点 C 的横坐标为（ ） A．5B．2C．21D．√21 5.已知 AB 是⊙ O 的直径， AD， BC 是⊙ O 的切线， P 是⊙ O 上一动点，若 AD=10， OA=4， BC=16，则△ PCD 的面积的最小值是 ． ∵AC′=√AC2 + CC′ 2 =√AC2 + CC′ 2 = √(5√5)2 + ( 5√5) 2 )2= 25 2 ， ∴AF+EC=AF+FC′≥AC′= 25 2 ，∴AF+EF+CE的最小值为 25 2 + 5√5 2 ．故答案为： 25 2 + 5√5 2 ． （2021 春 •越秀区期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 y 轴的正半 轴上，点 B 在 x 轴的正半轴上，OA=OB=10． （1）直线 AB 的解析式为 ； （2）将直线 AB 向下平移 10 个单位长度得到直线 l,点 M，N 是直线 l 上的动点 （M，N 的横坐标分别是 xM，xN，且 xM＜xN），MN=4√2，求四边形 ABNM 的周 长的最小值，并说明理由． 解：（1）直线 AB 的解析式为 y=-x+10； 解法二： 作点 A 关于 MN 对称点 A'， 则 MA=MA'， 作 A′A″'∥MN，A′A″=MN， AM+NB=MA'+MB'≥A'B'， 又 AA'=10√2，A″B'=10√2-4√2=6√2， 所以 A″B=4√17， 所以当 A″，N，B 三点共线时 AM+NB 取最小值为 4√17， 四边形 ABNM 的周长的最小值： AB+MN+AM+BN =10√2+4√2+4√17 =14√2+4√17， 冲刺小练习 30：利用圆的切线来处理最大张角问题 ➢ 知识提点 米勒定理:如图所示.点 A、点 B 是∠MON 边 ON 上的两个定点，点 P 是 OM 上一动 点，则当且仅当△APB 的外接圆与边 OM 相切于点 P 时，∠APB 最大.如图中的∠ AP′B 最大. ➢ 模型识别 ①平面内有定点 A，B 以及定直线 l; ②)P 是直线上的一个动点; ③求∠APB 的最大值以及∠APB 最大时的点 P ➢ 解题策略 方法：过定点 A，B 作圆与直线 1 相切于点 P 结论：∠AP′B 即为∠APB 的最值 核心:找定点、确定线、作切圆 ➢ 典型练习 1.如图，已知 A、B 两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C 的圆心坐标为 （－2，0），半径为 2．若 D 是⊙C 上的一个动点，线段 DA 与 y 轴交于点 E， 则△ABE 面积的最小值是______． 【解】当 AD 与⊙C 相切，且在 x 轴的上方时，△ABE 的面积最小， 连接 CD，则 CD⊥AD， ∴A、B 两点的坐标是（2，0），（0，