冲刺小练习28：与正方形有关的角含半角问题-2023-2024学年中考数学压轴模块冲刺专项练习

59 冲刺小练习 28：与正方形有关的角含半角问题 ➢ 图态剖析:正方形 ABCD中，∠EAF= 1 2 ∠BAD=45° 结论：(1)BE+DF=EF;(2)𝑪△𝑬𝑭𝑪 = 𝟐𝒂（a为正方形的边长） ➢ 典型练习 1.如图 1，正方形 ABCD 的面积为 1cm 2 ，△AEF 为等腰直角三角形，∠E=90°， AE 和 BC 交于点 G，AF 和 CD 交于点 H，则△CGH 的周长 ． 图 1 图 2 2.如图 2，E是正方形 ABCD内一点，∠AEB=90°，F是 BC边上一点，且∠EDF=45°，若 AB=2，当 DE取最小值时，CF的长为 ． 3.如图 3，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°．AB=5，AC=13，BC=12，∠BAC 与∠ACB 的角平分线相交于点 D，点 M、N 分别在边 AB、BC 上，且∠MDN=45°，连接 MN，则△BMN 的周长为 ． 60 4.（2022•大庆）如图 4，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AB，BC 上的两个 动点，且正方形 ABCD 的周长是△BEF 周长的 2 倍．连接 DE，DF 分别与对角线 AC 交于点 M，N，给出如下几个结论：①若 AE=2，CF=3，则 EF=4；②∠EFN+∠ EMN=180°；③若 AM=2，CN=3，则 MN=4；④若 𝑀𝑁 𝐴𝑀 =2，BE=3，则 EF=4．其中正确 结论的序号为 ． 图 4 图 5 5.（2021•黄石）如图 5，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，且 ∠EAF=45°，AE 交 BD 于 M 点，AF 交 BD 于 N 点． （1）若正方形的边长为 2，则△CEF 的周长是 ； （2）下列结论：①BM 2 +DN 2 =MN 2 ；②若 F 是 CD 的中点，则 tan∠AEF=2；③连接 MF，则△AMF 为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是 （把你认为所 有正确的都填上）． 6.如图 1，在正方形 ABCD 中，BC=9，点 E 在 AD 上，AE= 1 3 AD，点 G 在 CD 上， 且 DG：GC=2：7，连接 BE，EG． （1）求证：BE⊥EG； （2）如图 2，延长 EG 与∠ADC 的邻补角∠CDF 的平分线交于点 P，连接 BP 交 CD 于 M，连接 EM． ①求证：BE=EP； ②求 EM 的长． 动到每一个确定的位置，△DMN 的周长有最小值 t，随着点 D 的运动，t 的值会 发生变化，求所有 t 值中的最大值． 【解】（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°， ∵∠ADC=∠ABC=60°，∠BDC=∠BAC=60°，∴∠ADC=∠BDC， ∴DC 是∠ADB 的平分线； （3）如图 2，作点 D 关于直线 AC 的对称点 E，作点 D 关于直线 BC 的对称点 F， ∵点 D，点 E 关于直线 AC 对称，∴EM=DM，同理 DN=NF， ∵△DMN 的周长=DM+DN+MN=FN+EM+MN， ∴当点 E，点 M，点 N，点 F 四点共线时，△DMN 的周长有最小值， 则连接 EF，交 AC 于 M，交 BC 于 N，连接 CE，CF，DE，DF，作 CP⊥EF 于 P， ∴△DMN 的周长最小值为 EF=t，∵点 D，点 E 关于直线 AC 对称， ∴CE=CD，∠ACE=∠ACD，∵点 D，点 F 关于直线 BC 对称， ∴CF=CD，∠DCB=∠FCB， ∴CD=CE=CF，∠ECF=∠ACE+∠ACD+∠DCB+∠FCB=2∠ACB=120°， ∵CP⊥EF，CE=CF，∠ECF=120°，∴EP=PF，∠CEP=30°， ∴PC= 1 2 EC，PE=√3PC= √3 2 EC，∴EF=2PE=√3EC=√3CD=t， ∴当 CD 有最大值时，EF 有最大值，即 t 有最大值， ∵CD 为⊙O 的弦，∴CD 为直径时，CD 有最大值 4， ∴t 的最大值为 4√3． 冲刺小练习 28：与正方形有关的角含半角问题 ➢ 图态剖析:正方形 ABCD中，∠EAF= 1 2 ∠BAD=45° 结论：(1)BE+DF=EF;(2)𝑪△𝑬𝑭𝑪 = 𝟐𝒂