冲刺小练习27：折线段最值一一角内定(动)点问题-2023-2024学年中考数学压轴模块冲刺专项练习

57 冲刺小练习 27：折线段最值－－－－－角内定（动）点问题 ➢ 图态剖析 如图，点 P 是∠AOB 内部一定点，M，N 分别是边 OA，OB 边上的两个动点，使△PMN 的周长 最小 【方法解析】作点 P关于 OA，OB的对称点 P′和 P′′，连接 P′P′′交 OA于 M，交 OB于 N，此时 M,N为所求 【目的】利用两点之间，线段最短，化折为直 ➢ 典型练习 1.如图 1，∠AOB=30°，点 P 是∠AOB 内一点，在∠AOB 的两边上分别有点 R、Q （均不同于 O），当△PQR 周长最小时，∠QPR 的大小是（ ） A．30°B．60° C．90° D．120° 图 1 图 2 2.如图 2，点 P 是菱形 AOBC 内任意一点，∠C=45°，OP=2，点 M 和点 N 分别是 射线 OA，OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值是（ ） A．2 B．2√2 C．4 D．2√3 3.（2022•徐州二模）如图 3，在等边三角形 ABC 中，AB=2，点 D，E，F 分别是边 BC，AB，AC 边上的动点，则△DEF 周长的最小值为 ． 58 4. 如图，在△ABC，∠A=45°．∠B=60°，AB=4，P 是 AC 上一动点，分别做点 P 关于 AB、BC 的对称点 M、N，连 MN，交 BA、BC 于点 E、F，则△PEF 周长的最小 值为 5．如图，AC=1，∠BAC=60°，弧 BC 所对的圆心角为 60°，且 AC⊥弦 BC．若点 P 在𝐵?̂?上，点 E、F 分别在 AB、AC 上．则 PE+EF+FP 的最小值为 ． 6.（2020 年广州市，有修改）如图，⊙O 为等边△ABC 的外接圆，半径为 2，点 D 在劣弧弧 AB 上运动（不与点 A，B 重合），连接 DA，DB，DC． （1）求证：DC 是∠ADB 的平分线； （2）若点 M，N 分别在线段 CA，CB 上运动（不含端点），经过探究发现，点 D 运 动到每一个确定的位置，△DMN 的周长有最小值 t，随着点 D 的运动，t 的值会 发生变化，求所有 t 值中的最大值． 即 k=- √2 2 ， 故 k=- √2 2 ，b= √2 2 ，c=-2√2； （2）过点 A 作直线 AN 使∠NAC=30°，过点 O 作 ON⊥AN 交 AE 于 点 M，则点 M 为所求点， 理由：∠MAN=30°，则 MN= 1 2 AM，则 1 2 AM+OM=MN+OM=ON 为最 小， 过点 O 作 OE⊥AC 于点 E，则∠MOE=90°-∠OME=90°-∠AMN=∠ MAN=30°， 由点 A、C 的坐标得，AC=2√6， 则 sin∠ACO= AO AC = √6 3 ，则 cos∠ACO= √3 3 ， 在 Rt△COE 中，OE=OCsin∠ACO=2√2× √6 3 = 4√3 3 ， 同理可得，CE= 2√6 3 ， 在 Rt△OME 中，ME=OEtan∠MOE= 4√3 3 ×tan30°= 4 3 ，OM=2ME= 8 3 ， 则 AM=AC-ME-EC=2√6- 4 3 - 2√6 3 = 4√6−4 3 =2MN， 则 MN= 2√6−2 3 ， 则 1 2 AM+OM 的最小值=OM+MN= 2√6+6 3 冲刺小练习 27：折线段最值－－－－－角内定（动）点问题 ➢ 图态剖析 如图，点 P 是∠AOB 内部一定点，M，N 分别是边 OA，OB 边上的两个动点，使△PMN 的周长 最小 【方法解析】作点 P关于 OA，OB的对称点 P′和 P′′，连接 P′P′′交 OA于 M，交 OB于 N，此时 M,N为所求 【目的】利用两点之间，线段最短，化折为直 ➢ 典型练习 1.如图，∠AOB=30°，点 P 是∠AOB 内一点，在∠AOB 的两边上分别有点 R、Q（均 不同于 O），当△PQR 周长最小时，∠QPR 的大小是（ ） A．30°B．60° C．90° D．120° 【解】如图，分别作 P 关于 OA、OB 的对称点 M、N． 连接 MN 交 OA、OB 交于 Q、R，则△PQR 符合条件．连接 OM、ON， 由轴对称的性质可知，OM=ON=OP， ∠MON=∠MOP+∠NOP=2∠AOB=2×30°=60°，则△MON 为等边三角形， ∴∠OMN=