冲刺小练习26：折线段最值一-胡不归点问题-2023-2024学年中考数学压轴模块冲刺专项练习

54 冲刺小练习 26：折线段最值－－－胡不归点问题 ➢ 知识引入 已知平面上两定点 A，B，对于动点 P满足 PA + k·PB(k≠1，且 k 为正数)，若点 P的运 动轨迹是一条直线，这样的动点问题称之为“胡不归”问题，那么对于当“PA + k·PB”的 值最小时，点 P 的位置如何确定呢 ➢ 图态剖析 “PA + k·PB”最小（说明：PH=PBsinα= k·PB） 注意：一般系数 k 满足 0＜K＜1 时，直接构造；若 K＞1 时，需要先提系数，如 PA+2BP=2( 𝟏 𝟐 𝑷𝑨 + 𝑷𝑩),PA+√𝟐PB=√𝟐（ √𝟐 𝟐 𝑷𝑨 + 𝑷𝑩） ➢ 步骤指引： 1.消系数：确定相应的构造线，化“k·PB=PQ“，对于 k= 1 2 ， √2 2 ， √3 2 ，可作出相应的 30°， 45°，60°的角； 2.作垂线：转化为垂线段问题； 3.化折为直：三点共线才最短． ➢ 典型练习 1.如图 1，在菱形 ABCD中，AB=AC=10，对角线 AC、BD相交于点 O，点 M在线段 AC上，且 AM=2，点 P为线段 BD 上的一个动点，则 MP+ 1 2 PB 的最小值是 ． 图 1 图 2 2.(2019年长沙)如图 2，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点 E，D是线段 BE上的 一个动点，则 CD+ √5 5 BD 的最小值是 ． 55 3.如图，在△ACE 中，CA=CE，∠CAE=30°，半径为 5 的⊙O 经过点 C，CE 是圆 O 的切线，且圆的直径 AB 在线段 AE 上，设点 D 是线段 AC 上任意一点（不含端 点），则 OD+ 1 2 CD 的最小值为 ． 4.如图，直线 y=2x 与反比例函数 y= 𝑘 𝑥 （k≠0，x＞0）的图象交于点 A（1， a），B 是反比例函数图象上一点，且点 B（a,1）． （1）求 k 的值； （2）设点 P（m,0）， ①当△PAB 的面积为 2 时，求 m 的值； ②直接写出 PB+ √5 5 OP 的最小值． 56 5. 如图，抛物线 y= √2 4 x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，点 A、B 分别 位于原点左、右两侧，且 AO=2BO=4，过 A 点的直线 y=kx+c 交 y 轴 于点 C． （1）求 k、b、c 的值； (2)点 M 为线段 AC 上一点，连接 OM，求 1 2 AM+OM 的最小值． =8π－12√3+ 16𝜋 3 －4√3 = 40𝜋 3 －16√3． 冲刺小练习 26：折线段最值－－－胡不归点问题 ➢ 知识引入 已知平面上两定点 A，B，对于动点 P满足 PA + k·PB(k≠1，且 k 为正数)，若点 P的运 动轨迹是一条直线，这样的动点问题称之为“胡不归”问题，那么对于当“PA + k·PB”的 值最小时，点 P 的位置如何确定呢 ➢ 图态剖析 “PA + k·PB”最小（说明：PH=PBsinα= k·PB） 注意：一般系数 k 满足 0＜K＜1 时，直接构造；若 K＞1 时，需要先提系数，如 PA+2BP=2( 𝟏 𝟐 𝑷𝑨+ 𝑷𝑩),PA+√𝟐PB=√𝟐（ √𝟐 𝟐 𝑷𝑨 +𝑷𝑩） ➢ 步骤指引： 1.消系数：确定相应的构造线，化“k·PB=PQ“，对于 k= 1 2 ， √2 2 ， √3 2 ，可作出相应的 30°， 45°，60°的角； 2.作垂线：转化为垂线段问题； 3.化折为直：三点共线才最短． ➢ 典型练习 1.如图，在菱形 ABCD 中，AB=AC=10，对角线 AC、BD相交于点 O，点 M在线段 AC上，且 AM=2，点 P为线段 BD 上的一个动点，则 MP+ 1 2 PB 的最小值是 ． 【解】如图，过 P点作 PH⊥BC于 H，过 M点作 MN⊥BC于 N， ∵四边形 ABCD为菱形，∴AB=BC，BO平分∠ABC，AO⊥BD， ∵AB=AC=10，∴AB=AC=BC=10， ∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠OBC=30°，∴PH= 1 2 BP， ∴MP+ 1 2 PB=MP+PH，当 M、P、H共线时，MP+PH的值最小， 即 MP+