冲刺小练习24：隐圆(4)一直径对90度-2023-2024学年中考数学压轴模块冲刺专项练习

50 冲刺小练习 24：隐圆（4）－－－直径对 90 度 ➢ 图态剖析 ➢ 口诀速记 见定角（90度）→遇定长→转到圆→定圆心→现“圆”形 ➢ 典型练习 1.如图 1,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=6,E是矩形内部的一个动点,且 AE⊥BE,则线段 CE长的 最小值为 ( ) ． A. 3 2 B.2√10－2 C.2√13－2 D.4 图 1 图 2 2.如图 2，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中 AB=4，∠AOC=120°，P为⊙O上的动 点，连 AP，取 AP中点 Q，连 CQ，则线段 CQ的最大值为 ． 3.如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8，点 P 为矩形内一点，且满足 ∠ABP=∠BCP． （1）若点 E 为 AD 的中点，B，P，E 在同一条直线上，则 BP 的长为 ； （2）若 E 为 AD 上一动点，则 BE+PE 的最小值为 ． 51 4.（2023年七中月测）如图，AB是⊙0的弦，点 C在⊙O内，∠ACB=90°，∠ABC=30°， 连接 OC若⊙O 的半径是 4，则 OC长的最小值为 5.（2022•荔湾区二模）例：如图，⊙O 的直径 AB 为 10cm，弦 AC 为 6cm． （1）作∠ACB 的角平分线交⊙O 于点 D，连接 AD、BD（尺规作图．并保留作图 痕迹）； （2）求线段 CD 的长度； （3）若点 G 在劣弧𝐵?̂?上由点 B 运动到点 D 时，求弦 CG 的中点 K 运动的路径 长． 如图 2，过点 A 作 AT⊥PC 于 T，AJ⊥BD 交 BD 的延长线于 J． ∵△BAD≌△CAE，∴AT=AJ， ∵∠J=∠ATP=∠JPT=90°，∴四边形 AJPT 是矩形， ∵AJ=AT，∴四边形 AJPT 是正方形，∴PT=AT=AJ=PJ， ∵∠J=∠ATC=90°，AB=AC，AJ=AT，∴Rt△ABT≌RtACT（HL），∴CT=BJ， ∵∠BPF=∠ATF=90°，∥BFP=∠AFT，AF=BF，∴△BPF≌△ATF（AAS）， ∴BP=AT=JP，∴CT=2PB=2PT，∴PC=3BP． （3）如图 3， ∵BP⊥PC，∴∠BPC=90°， ∴点 P 的 BC 为直径的圆上运动，设轨迹为𝑀?̂?，BC 的中点为 O，连接 OM，ON． 当 AE⊥CP 时，∵AC=√2DE=2，∴DE=√2，∴AD=AE=1，∴AC=2AE， ∴∠ACE=30°， ∵∠ACB=45°，∴∠BCE=15°，∵OM=OC，∴∠OMC=∠OCM=15°， ∴∠BON=∠OCM+∠OMC=30°，∴∠BOM 的最小值为 30°， 同法可证，∠NOC 的最小值为 30°，∴∠MON=180°-30°-30°=120°， ∵BC=√2AC=2√2，∴OM=ON=OB=√2，∴点 P 的运动轨迹的长= 120•π•√2 180 = 2√2 3 π． 冲刺小练习 24：隐圆（4）－－－直径对 90度 ➢ 图态剖析 ➢ 口诀速记 见定角（90 度）→遇定长→转到圆→定圆心→现“圆”形 ➢ 典型练习 1.如图,在矩形 ABCD中,AB=4,BC=6,E是矩形内部的一个动点,且 AE⊥BE,则线段 CE长的最 小值为 ( ) ． A. 3 2 B.2√10－2 C.2√13－2 D.4 【解】如图,∵AE⊥BE,∴点 E在以 AB为直径的☉O上, 连接 CO交☉O于点 E′,∴当点 E位于点 E′的位置时,线段 CE长取得最小值, ∵AB=4,∴OA=OB=OE′=2,在 Rt△OBC 中,∵BC=6,OB=2,∴OC=√𝐵𝐶2 + O𝐵2=√62 + 22=2√10, 则 CE′=OC－OE′=2√10－2,即线段 CE的最小值为 2√10－2.故选 B 2.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中 AB=4，∠AOC=120°，P为⊙O上的动 点，连 AP，取 AP中点 Q，连 CQ，则线段 CQ的最大值为（ ）． A．3 B．1+√6 C．1 + 3√2 D．1 + √7 【解】如图，连接 OQ，作 CH⊥AB 于 H． ∵AQ=QP，∴OQ⊥PA，∴∠AQO=90°， ∴点 Q 的运动轨迹为以 AO 为直径的⊙K，连接 C