冲刺小练习23：隐圆(3)一斜边中线为斜边的一半-2023-2024学年中考数学压轴模块冲刺专项练习

48 冲刺小练习 23：隐圆（3）－－斜边中线为斜边的一半 ➢ 知识导入 如图，在 Rt△AOB中，P为斜边 AB的中点，则 OP= 1 2 AB. 引申：当 AB长一定时，点 P可以看作以 O为圆心， 1 2 AB长为半径的圆上运动 ➢ 定点定长隐圆知识关联 提问：什么条件下可以想到构造圆？其依据是什么？ 条件：动点到定点的距离相等 依据：圆的定义 结论：可以构造以定点为圆心，定长为半径的圆 口诀：找定点（圆心）→寻定长（半径）→现圆形 ➢ 典型例题 1.如图，OA⊥OB，垂足为 O，P、Q 分别是射线 OA、OB 上的两个动点，点 C 是线 段 PQ 的中点，且 PQ=4，点 Q 从点 O 出发沿 OB 方向运动过程中，动点 C 运动形 成的路径长是 ． 2.如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=6，点 E，F 分别是 AD，DC 边上的动点，且 EF=4，点 G 为 EF 的中点，点 P 为 BC 上的一动点，则 PA+PG 的最小值为 ． 49 3.如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8，点 E、F 分别是边 AB、BC 上的动点，且 EF=4，点 G 是 EF 的中点，AG、CG，则四边形 AGCD 面积的最小值 为 ． 4.如图 1，△ABC 与△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，CE 的延长 线与 BD 交点 P，CP 与 BA 相交于点 F，现将△ADE 绕点 A 旋转． （1）如图 1，求证：BP⊥CP； （2）如图 2，若 AF=BF，猜想 BP 与 CP 的数量关系，并证明你猜想的结论； （3）若 AC=√2DE=2，在将△ADE 绕点 A 旋转的过程中，请直接写出点 P 运动路 径的长度． ∴△ADE 是等腰直角三角形， ∴DE=AE=BG， ∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∠1=∠2， ∴∠3=∠4， ∵AC=BC， ∴△AEC≌△BGC（SAS）， ∴CE=CG，∠5=∠BCG， ∴∠ECG=∠ACB=90°， ∴△ECG 是等腰直角三角形， ∵KD=KB，DE=BG， ∴KE=KG， ∴CK=EK=KG， ∴BE-AE=2CK； （3）解：∵AD=2CD，AC=15， ∴AD=10， 取 AB 的中点 O，连接 OC，OK， ∵点 K 始终为 BD 的中点， ∴OK 是△ABD 的中位线， ∴OK= 1 2 AD=5， 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得，AB=√82 + 152=17，∴OC= 17 2 ， ∵CK≤KO+OC， ∴CK 的最大值为 5+ 17 2 = 27 2 ． 冲刺小练习 23：隐圆（3）－－斜边中线为斜边的一半 ➢ 知识导入 如图，在 Rt△AOB中，P为斜边 AB的中点，则 OP= 1 2 AB. 引申：当 AB长一定时，点 P可以看作以 O为圆心， 1 2 AB长为半径的圆上运动 ➢ 定点定长隐圆知识关联 提问：什么条件下可以想到构造圆？其依据是什么？ 条件：动点到定点的距离相等 依据：圆的定义 结论：可以构造以定点为圆心，定长为半径的圆 口诀：找定点（圆心）→寻定长（半径）→现圆形 ➢ 典型例题 1.如图，OA⊥OB，垂足为 O，P、Q 分别是射线 OA、OB 上的两个动点，点 C 是线 段 PQ 的中点，且 PQ=4，点 Q 从点 O 出发沿 OB 方向运动过程中，动点 C 运动形 成的路径长是 ． 【解】∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°， 当 Q 点与 O 点重合时， PQ 的中点 C 在 OP 的中点处，当 P 点与 O 点重合时， PQ 的中点 C 在 OQ 的中点处， ∵PQ=4，∴C 点运动轨迹是以 O 为圆心，2 为半径的 1 4 圆上， ∴动点 C 运动形成的路径长= 1 4 π×4=π，∴动点 C 运动形成的路径长是 π， 故答案为 π． 2.如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=6，点 E，F 分别是 AD，DC 边上的动点，且 EF=4，点 G 为 EF 的中点，点 P 为 BC 上的一动点，则 PA+PG 的最小值为 ． 【解】∵EF=4，点 G 为 EF 的中点，∴DG=2， ∴G 是以 D 为圆心，以 2 为半径的圆弧上的点， 如图，作 A 关于 BC 的对称点 A′，连接 A′D，交 BC 于 P，交以 D 为圆心，以 1 为半径的圆于 G，此时 PA+PG 的值最小，最小值为 A′G 的长；