冲刺小练习22：隐圆(2)一旋转变换下的定点定长类-2023-2024学年中考数学压轴模块冲刺专项练习

45 冲刺小练习 22：隐圆（2）－－旋转变换下的定点定长类 ➢ 知识导入 如图，将△OAB 绕点 O 逆时针旋转一点的角度得到△OA′B′，旋转过程中，则 点 A′可以看作在以 O 为圆心，OA 的长为半径的圆上运动 ➢ 知识说明 提问：什么条件下可以想到构造圆？其依据是什么？ 条件：动点到定点的距离相等 依据：圆的定义 结论：可以构造以定点为圆心，定长为半径的圆 口诀：找定点（圆心）→寻定长（半径）→现圆形 ➢ 瓜豆原理---旋转全等型 如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，作 AQ⊥AP 且 AQ=AP． 考虑：当点 P 在圆 O 上运动时，Q 点轨迹是？ ➢ 典型练习 1. （2022•河南）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，点 D 为 AB 的中点，点 P 在 AC 上，且 CP=1，将 CP 绕点 C 在平面内旋转，点 P 的对应点为 点 Q，连接 AQ，DQ．当∠ADQ=90°时，AQ 的长为 ． 46 2.如图，AB 为半圆 O 的直径，且 AB=2，点 C 为圆弧上一动点，连接 DB，将 CB 绕点 B 顺时针旋转 90°得到点 D，则线段 AD 的最大值是 ． 3.（2022•汉阳区模拟）如图，⊙O 的半径为 3，AB 为圆上一动弦，以 AB 为边作 正方形 ABCD，求 OD 的最大值 ． 4. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 AD 边上运动，从点 A 出发向点 D 运动， 到达 D 点停止运动．作射线 CE，并将射线 CE 绕着点 C 逆时针旋转 45°，旋转 后的射线与 AB 边交于点 F，连接 EF． （1）依题意补全图形； （2）猜想线段 DE，EF，BF 的数量关系并证明； （3）过点 C 作 CG⊥EF，垂足为点 G，若正方形 ABCD 的边长是 4，请直接写出 点 G 运动的路线长． 47 5.在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=α，点 D 在边 AC 上（不与点 A，C 重 合），连接 BD，点 K 为线段 BD 的中点，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，连接 CK，EK，CE． （1）如图 1，若 α=45°，则△ECK 的形状为 ． （2）在（1）的条件下，若将图 1 中△ADE 绕点 A 顺时针旋转一定的角度（旋 转角小于 90°），使得 D，E，B 三点共线，点 K 为线段 BD 的中点，如图 2 所示．求证：BE-AE=2CK． （3）若 BC=8，AC=15，点 D 在边 AC 上（不与点 A，C 重合），AD=2CD， 将线段 AD 绕点 A 旋转，点 K 始终为 BD 的中点，则线段 CK 长度的最大值是 多少？请直接写出结果． 冲刺小练习 22：隐圆（2）－－旋转变换下的定点定长类 ➢ 知识导入 如图，将△OAB 绕点 O 逆时针旋转一点的角度得到△OA′B′，旋转过程中，则 点 A′可以看作在以 O 为圆心，OA 的长为半径的圆上运动 ➢ 知识说明 提问：什么条件下可以想到构造圆？其依据是什么？ 条件：动点到定点的距离相等 依据：圆的定义 结论：可以构造以定点为圆心，定长为半径的圆 口诀：找定点（圆心）→寻定长（半径）→现圆形 ➢ 瓜豆原理---旋转全等型 如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，作 AQ⊥AP 且 AQ=AP． 考虑：当点 P 在圆 O 上运动时，Q 点轨迹是？ ➢ 典型练习 1. （2022•河南）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，点 D 为 AB 的中点，点 P 在 AC 上，且 CP=1，将 CP 绕点 C 在平面内旋转，点 P 的对应点为 点 Q，连接 AQ，DQ．当∠ADQ=90°时，AQ 的长为 ． 【解】如图： ∵∠ACB=90°，AC=BC=2√2，∴AB=√2AC=4， ∵点 D 为 AB 的中点，∴CD=AD= 1 2 AB=2，∠ADC=90°， ∵∠ADQ=90°，∴点 C、D、Q 在同一条直线上， 由旋转得：CQ=CP=CQ′=1，分两种情况： 当点 Q 在 CD 上，在 Rt△ADQ 中，DQ=CD－CQ=1，∴ AQ=√AD2 +DQ2=√22 + 12=√5， 当点 Q 在 DC 的延长线上， 在 Rt△ADQ′中，DQ′=CD+CQ′=3，∴AQ′=√AD2