冲刺小练习21：隐圆(1)一折叠变换下的定点定长类-2023-2024学年中考数学压轴模块冲刺专项练习

43 冲刺小练习 21：隐圆（1）－－－折叠变换下的定点定长类 ➢ 知识导入 如图，点 C 为△OAB 边 OB 上任意一点，将△OAC 沿着 OB 所在的直线对折得到△ OA′C，在折叠过程中，则点 A′可以看作在以 O 为圆心，OA 的长为半径的圆上 运动 ➢ 知识说明 提问：什么条件下可以想到构造圆？其依据是什么？ 条件：动点到定点的距离相等 依据：圆的定义 结论：可以构造以定点为圆心，定长为半径的圆 口诀：找定点（圆心）→寻定长（半径）→现圆形 ➢ 典型练习 1.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，∠B=30°，点 F 在边 AC 上，并且 CF=2，点 E 为边 BC 上的动点，将△CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，则 点 P 到边 AB 距离的最小值是 ． 2.如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，BC=12，E 是 AB 的中点，F 是 BC 边上一动点， 将△BEF 沿着 EF 翻折，使得点 B 落在点 B′处，矩形内有一动点 P，连接 PB′、PC、PD，则 PB′+PC+PD 的最小值为 ． 44 3.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点 D 是 BC 上一点，将△ABD 沿 AD 翻折得到△AED，连接 CE．当点 D 从点 B 运动到点 C 时， （1）CE 的最小值是 ； （2）点 E 运动的路径长是 ． 4.如图，在等边△ABC 中，AB=6，点 D 在 BC 上，BD=4，点 E 为边 AC 上一动点（不与 点 C 重合），沿 DE 折叠△CDE，得到△FDE． （1）当点 F 在 AC 上时，求证：DF∥AB； （2）设△ACD 的面积为 S1，△ABF 的面积为 S2，记 S=S1-S2，S 是否存在最大值？若存在， 求出 S 的最大值；若不存在，请说明理由． 备用图 ∴∠ACB=90°， ∵AC=4，BC=4√3， ∴AB=√AC2 + BC2=√42 + (4√3)2=8， ∴⊙O 的半径为 4． （2）如图 1 中，连接 OC，OD． ∵CD=4√2，OC=OD=4， ∴CD 2 =OC 2 +OD 2 ， ∴∠COD=90°， ∴∠OCD=45°， ∵AC=OC=OA， ∴△AOC 是等边三角形， ∴∠ACO=60°， ∴∠ACD=∠ACO－∠DCO=60°－45°=15°． （3）如图 2 中，连接 OM，OC． ∵AM=MD， ∴OM⊥AD， ∴点 M 的运动轨迹以 AO 为直径的⊙J， 连接 CJ，JM． ∵△AOC 是等边三角形，AJ=OJ， ∴CJ⊥OA， ∴CJ=√AC2 − 𝐴𝐽2=2√3， ∵CM≤CJ+JM=2√3+2， ∴CM 的最大值为 2√3+2． 冲刺小练习 21：隐圆（1）－－－折叠变换下的定点定长类 ➢ 知识导入 如图，点 C 为△OAB 边 OB 上任意一点，将△OAC 沿着 OB 所在的直线对折得到△ OA′C，在折叠过程中，则点 A′可以看作在以 O 为圆心，OA 的长为半径的圆上 运动 ➢ 知识说明 提问：什么条件下可以想到构造圆？其依据是什么？ 条件：动点到定点的距离相等 依据：圆的定义 结论：可以构造以定点为圆心，定长为半径的圆 口诀：找定点（圆心）→寻定长（半径）→现圆形 ➢ 典型练习 1.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，∠B=30°，点 F 在边 AC 上，并且 CF=2，点 E 为边 BC 上的动点，将△CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，则 点 P 到边 AB 距离的最小值是 ． 【解】如图，以 F 为圆心，CF 为半径作⊙F，过点 F 作 FH⊥AB 于点 H 交⊙F 于 点 G，则点 P 到 AB 的距离的最小值=FH-FP=FH-FG． 由翻折的性质可知，PF=CF=2，∴点 P 在⊙F 上， ∵AC=6，BC=6√3，∴AB=12， 在 Rt△AFH 中，AF=4，∠A=60°，∴FH=2√3， ∴点 P 到 AB 的距离的最小值=FH-FG=2√3-2． 故答案为：2√3-2． 2.如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，BC=12，E 是 AB 的中点，F 是 BC 边上一动点， 将△BEF 沿着 EF 翻折，使得点 B 落在点 B′处，矩形内有一动点 P，连接 PB′、PC、PD，则 PB′+PC+PD 的最小值为 ． 【解】如图，将△PDC 绕点