冲刺小练习20：单线段最值一点圆位置关系-2023-2024学年中考数学压轴模块冲刺专项练习

41 冲刺小练习 20：单线段最值－－点圆位置关系 ➢ 图态剖析 如图，在⊙O外有一点 P，在圆上找一点 M，使得 PM最长或最短，由图可知：当点 M在点 M′时，PM最长；当 M在 M′′时，PM最短 【小结】点与圆的最值问题在本质上仍然是利用了三角形三边关系，化折为直 ➢ 典型练习 1.如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以 BC 为直径的半圆交 AB 于 点 D，P 是弧 CD 上的一个动点，连接 AP，则 AP 的最小值是__________． 图 1 图 2 图 3 2.如图 2，已知直线 y= 3 4 x+3 与坐标轴分别交于 A、B 两点，M 是以 C（6，0）为 圆心，2 为半径的圆上一动点，连接 MA、MB，则△MAB 面积的最大值是______． 3.如图 3，边长为 1的正方形 ABCD中，以 A为圆心，1为半径作𝐵?̂?，将一块直角三角板的 直角顶点 P放置在𝐵?̂?（不包括端点 B、D）上滑动，一条直角边通过顶点 A，另一条直角边 与边 BC相交于点 Q，连接 PC，则△CPQ周长的最小值为____________. 4.如图，在四边形 ABCD 中，AB=BD，∠BDA=45°，BC=2，若 BD⊥CD 于点 D，则 对角线 AC 的最大值为 . 42 5.如图 5，抛物线 y＝ 15 32 (x−6)2− 15 8 与 y轴交于点 A，与 x轴交于 B、C，点 A关于抛物线对 称轴的对称点为点 D，点 E在 y轴上，点 F在以点 C为圆心，半径为 2的圆上，则 DE+EF 的最小值是 ． 图 5 图 6 6.如图 6，抛物线 y= 1 4 x 2 －4 与 x 轴交于 A、B 两点，P 是以点 C（0，3）为圆 心，2 为半径的圆上的动点，Q 是线段 PA 的中点，连接 OQ，则线段 OQ 的最大 值是 ． 7.如图，⊙O 为 Rt△ABC 的外接圆，∠ACB=90°，BC=4√3，AC=4，点 D 是⊙O 上 的动点，且点 C、D 分别位于 AB 的两侧． （1）求⊙O 的半径； （2）当 CD=4√2时，求∠ACD 的度数； （3）设 AD 的中点为 M，在点 D 的运动过程中，线段 CM 是否存在最大值？若存 在，求出 CM 的最大值；若不存在，请说明理由． ∴QS= 1 2 ET=3， 当点 G 与 A 重合时，点 Q 为 BE 的中点， 当点 G 与 B 重合时，点 Q 仍为 BE 的中点， ∴点 Q 运动路径是一条来回的线段， ∵∠AEG=∠BGN，∠A=∠B，∴△AEG∽∠BGN，∴ 𝐴𝐸 𝐵𝐺 ＝ 𝐴𝐺 𝐵𝑁 ， 设 AG=x，∴ 6 6−𝑥 ＝ 𝑥 𝐵𝑁 ，∴BN=- 1 6 x 2 +x， 当 x=3 时，BN 最大为 3 2 ，∴Q'Q 的最大值为 3 4 ，∴点 Q 的运动路径为 2× 3 4 ＝ 3 2 ． 冲刺小练习 20：单线段最值－－点圆位置关系 ➢ 图态剖析 如图，在⊙O外有一点 P，在圆上找一点 M，使得 PM最长或最短，由图可知：当点 M在点 M′时，PM最长；当 M在 M′′时，PM最短 【小结】点与圆的最值问题在本质上仍然是利用了三角形三边关系，化折为直 ➢ 典型练习 1.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以 BC 为直径的半圆交 AB 于点 D，P 是弧 CD 上的一个动点，连接 AP，则 AP 的最小值是__________． 【解】如图，取 BC 的中点 E，连接 AE，交半圆于 P2，在半圆上取 P1，连接 AP1， EP1，可见，AP1+EP1＞AE，即 AP2 是 AP 的最小值， ∵AE=解：找到 BC 的中点 E，连接 AE，交半圆于 P2，在半圆上取 P1，连接 AP1，EP1，可知 AP1+EP1＞AE，即 AP2 是 AP 的最小值， ∵AE=√22 + 12=√5，P2E=1，∴AP2=√5－1．故答案为：√5－1． 2. 如图，已知直线 y= 3 4 x+3 与坐标轴分别交于 A、B 两点，M 是以 C（6，0）为 圆心，2 为半径的圆上一动点，连接 MA、MB，则△MAB 面积的最大值是______． 【解】如图，过点 C 作 CD⊥AB 垂足为 D，延长 DC 交圆 C 与点 M．