冲刺小练习19：与中位线轨迹有关的路径和最值问题-2023-2024学年中考数学压轴模块冲刺专项练习

39 冲刺小练习 19：与中位线轨迹有关的路径和最值问题 ➢ 图态剖析 引例：如图，P 是直线 BC 上一动点，连接 AP，取 AP 中点 Q，当点 P 在 BC 上运动 时，Q点轨迹是？ 解析：分别过 A、Q向 BC作垂线，垂足分别为 M、N，在运动过程中，因为 AP=2AQ， 所以 QN始终为 AM的一半，即 Q点到 BC的距离是定值，故 Q点轨迹是一条直线． ➢ 步骤指引： 第一步：画出动点的初始位置和终止位置； 第二步：对于从动点，要注意①点的初始位置、②点的中途位置、③点的终止位置； 第三步：判断动点的运动路径，计算其长度． ➢ 典型练习 1．如图 1，点 A，B 为定点，定直线 l∥AB，P 是 l 上一动点，点 M，N 分别为 PA，PB 的中 点，对下列各值：①线段 MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线 MN，AB之 间的距离；⑤∠APB的大小．其中不会随点 P的移动而改变的是 （填序号） 图 1 图 2 图 3 2．如图 2，矩形 ABCD 中，AB=4，AD=2，E为 AB的中点，F为 EC上一动点，P为 DF中点， 连接 PB，则 PB的最小值是（ ）． A．2 B．4 C．√2 D．2√2 3.如图 3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（－8，0），点 B 的坐标为 （0，4），点 C 从点 A 出发以 2 个单位长度/s 的速度沿线段 AO 向点 O 匀速移 动，同时点 D 从点 O 出发以 1 个单位长度/s 的速度沿线段 OB 向点 B 匀速移 动，点 P 为线段 CD 的中点，在点 C 从点 A 移动到点 O 的过程中，点 P 移动的路 径长为 40 4.如图，矩形 ABCD 中，AB=6，AD=4，E 是 AB 的中点，F 是线段 EC 上一动点，P 为 DF 的中点，连接 PB，则线段 PB 的最小值为 ． 5.如图，在矩形 ABCD 中，AD=12，AB=6，点 G，E 分别在边 AB，AD 上，∠ EGF=90°，EG=FG，GF，EF 分别交 BC 于点 N、M，连接 EN． （1）当 GN 平分∠ENB 时，求证：EN=AE+BN； （2）当 MF2=MN•BM 时，求 AE 的值． （3）当点 E 是 AD 的中点，点 Q 是 EN 的中点，当点 G 从点 A 运动到点 B 时，直接写出点 Q 运动的路径长． ∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠BCD=90°， ∴∠BCD′=180°－∠BCD=90°，∴∠BCD=∠BCD′， 在△BCD 和△BCD′中，{ DC＝D′C， ∠BCD＝∠BCD′ BC＝BC， ，∴△BCD≌△BCD′（SAS）， ∴∠CBD=∠CBD′， 在△BPE 和△BP′E 中，{ BP＝BP′， ∠PBE＝∠P′BE BE＝BE， ，∴△BPE≌△BP′E（SAS）， ∴PE=P′E，∴PE+DE=P′E+DE， 当 P′，E，D 三点共线时，P′E+DE 最小， ∵点 P′是 DD′上的动点， ∴当且仅当 DP′⊥BD′时，DP′最小，此时 PE+DE 最小， 作 DP″⊥BD′于点 P″， ∵CD=AB=CD′=3，BC=AD=5，∴DD′=6，BD′=√BC2 + D′𝐶2=√52 + 32=√34， ∵DP″•BD′=BC•DD′，∴DP″×√34=5×6，∴DP″= 15√34 17 ， ∴PE+DE 的最小值为 15√34 17 ； 冲刺小练习 19：与中位线轨迹有关的路径和最值问题 ➢ 图态剖析 引例：如图，P 是直线 BC 上一动点，连接 AP，取 AP 中点 Q，当点 P 在 BC 上运动 时，Q点轨迹是？ 分析当 P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 可以这样理解：分别过 A、Q 向 BC 作垂线，垂足分别为 M、N，在运动过程中，因 为 AP=2AQ，所以 QN始终为 AM的一半，即 Q点到 BC的距离是定值，故 Q 点轨迹是 一条直线． ➢ 步骤指引： 第一步：画出动点的初始位置和终止位置； 第二步：对于从动点，要注意①点的初始位置、②点的中途位置、③点的终止位置； 第三步：判断动点的运动路径，计算其长度． ➢ 典型练习 1．如图，点 A，B为定点，定直线 l∥AB，P是 l上一动点，点 M，N分别为 PA，PB的中点， 对下列各值：①线段 MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线 MN，AB之