冲刺小练习18：折线段最值一利用轴对称，化折为直、垂綫段最短-2023-2024学年中考数学压轴模块冲刺专项练习

37 冲刺小练习 18：折线段最值－－利用轴对称，化折为直、垂线段最短 ➢ 图态剖析（两动一定） 点 N是∠AOC边上的一定点，点 P在∠AOC的角平分线 OD上运动，点 M是 OC边上的一动点， 求 PM+PN的最小值 【小结】作点 M点线之间，垂线段最短． ➢ 典型练习 1.如图 1，∠AOB=42°，C 为 OB 上的定点，P、Q 分别为 OA、OB 上两个动点，当 CP+PQ 的值最小时，∠OCP 的度数为 ． 图 1 图 2 2.如图 2，在△AOB 中，∠OAB=∠AOB=15°，OB=5，OC 平分∠AOB，点 P 在射线 OC 上，Q 是 OA 上一动点，则 PA+PQ 的最小值是 ． 3.如图，在矩形 ABCD 中，AD=4，∠DAC=30°，点 P、E 分别在 AC、AD 上，则 PE+PD 的最小值是 ． 38 4.如图 4，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E，F 分别为边 BC，CD 上两点，CF=BE， AE 平分∠BAC，连接 BF，分别交 AE，AC 于点 G，M，点 P 是线段 AG 上的一个动 点，过点 P 作 PN⊥AC，垂足为 N，连接 PM，则 PM+PN 的最小值为 ． 图 4 图 5 5.如图 5，在矩形 ABCD 中，AB=2BC=10，点 E 在 CD 上，CE=2，点 F、P 分别是 AC、 AB 上的动点，则 PE+PF 的最小值为 ． 6.在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=5，点 E 为 BC 上的点，点 P 矩形内部一动点，连接 PD，PB； （1）如图 1，若满足 PE⊥DE，∠PBE=45°，PB=√2，EC=1，求证：PE=DE； （2）如图 2，当点 P 在线段 BD 上的运动，求 PE+DE 的最小值； 图 1 图 2 ∵△ACD 与△ACB 关于 AC 对称， ∴AC 垂直平分线段 BD， ∴BO=OD， ∵BC=CG， ∴OC∥DG，DG=2OC=2y, ∴DG⊥BD， ∴BD=√𝐵𝐺2 −DG2=√1002 − 4𝑦2， 又∵BD=2OB=2√𝐴𝐵2 − 𝐴𝑂2=2√36 − (5 − 𝑦)2， ∴√1002 − 4𝑦2=2√36 − (5 − 𝑦)2， ∴y= 7 5 ， ∴DG=2y= 14 5 ； (3)可以在 BC 下方构造△BPH≌△ADQ 来做，得△ABH 为等腰直角三角形． 由 AP+AQ=AP+PH≥AH=6√2，可得结论． 冲刺小练习 18：折线段最值－－利用轴对称，化折为直、垂线段最短 ➢ 图态剖析（两动一定） 点 N是∠AOC边上的一定点，点 P在∠AOC的角平分线 OD上运动，点 M是 OC边上的一动点， 求 PM+PN的最小值 【小结】作点 M点线之间，垂线段最短． ➢ 典型练习 1.如图，∠AOB=42°，C 为 OB 上的定点，P、Q 分别为 OA、OB 上两个动点，当 CP+PQ 的值最小时，∠OCP 的度数为 ． 【解】如图，作射线 OB 关于直线 OA 的对称线 OD，过点 C 作 CH⊥OD 于点 H，交 OA 于点 M，此时线段 CH 的长即为 CP+PQ 的最小值， 由对称得，∠AOB=∠AOD=42°，∴∠COH=84°， ∵∠CMO=90°，∴∠OCM=60°，∴当 CP+PQ 的值最小时，∠OCP=6°．故答案： 6°． 2.如图，在△AOB 中，∠OAB=∠AOB=15°，OB=5，OC 平分∠AOB，点 P 在射线 OC 上，Q 是 OA 上一动点，则 PA+PQ 的最小值是 ． 【解】如图，在射线 OB 上截取一点 Q′，使得 OQ′=OQ，则△OPQ≌△OPQ′，可得 PQ=PQ′．作 AH⊥OB 于 H． ∴PA+PQ=PA+PQ′，∴当 A、P、Q′共线，且垂直 OB 时，PA+PQ′的值最小，最小 值为 AH， 在 Rt△ABH 中，∵OB=AB=5，∠ABH=30°，∴AH= 1 2 AB= 5 2 ， ∴PA+PQ 的最小值为 5 2 ，故答案为 5 2 ． 3.如图，在矩形 ABCD 中，AD=4，∠DAC=30°，点 P、E 分别在 AC、AD 上，则 PE+PD 的最小值是 ． 【解】如图，作 D 关于直线 AC 的对称点 D′