冲刺小练习17：折线段最值一将军饮马问题(提高型)-2023-2024学年中考数学压轴模块冲刺专项练习

35 冲刺小练习 17：折线段最值－－－将军饮马问题（提高型） 知识要点：利用全等来转移线段，化折为直 1.如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，点 E、F 分别为边 AB、CD 上的动点，且 AE=CF，则 BF+CE 的最小值为 ． 2.如图，菱形 ABCD 的边长为 1，∠ABC=60°．E，F 分别是 BC，BD 上的动点， 且 CE=DF，则 AE+AF 的最小值为 ． 3.（2022•遵义）如图，在等腰直角三角形 ABC中，∠BAC=90°，点 M，N分别为 BC，AC上 的动点，且 AN=CM，AB=√2．当 AM+BN的值最小时，CM的长为 ． 4.如图，在等边三角形 ABC 中，AD⊥BC，BC=4，点 E、F 分别是 AD、AC 上的动点， 且 AE=CF，则 BF+CE 的最小值为 ． 36 5.（2022 秋•余姚市期中）如图，等腰 Rt△ABC 的直角边长为 4，D、E 分别为边 AB、AC 上两个动点，且 AE=BD，则 CD+BE的最小值 ． 6.已知 AE∥BF，AB=6，点 C 为射线 BF 上一动点（不与点 B 重合），△BAC 关于 AC 的轴对称图形为△DAC． （1）如图 1，当点 D 在射线 AE 上时，求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）如图 2，当点 D 在射线 AE，BF 之间时，若点 G 为射线 BF 上一点，点 C 为 BG 的中点，且 BG=10，AC=5，求 DG 的长； （3）如图 3，在（1）的条件下，若∠ABF=60°，连接 BD，点 P，Q 分别是线段 BC，BD 上的动点，且 BP=DQ，求 AP+AQ 的最小值． （3）如图 3，作 BK⊥BE，GK⊥BK 于点 K，延长 KG 交射线 CE 于点 P， ∵∠EBK=∠FBG=90°，∴∠KBG=∠EBF=90°－∠GBE， ∵∠K=∠BEF=90°，BG=BF，∴△BKG≌△BEF（AAS），∴BK=BE； ∵∠EBK=∠K=∠BEP=90°，∴四边形 BEPK 是正方形，∴PE=BE=CE， ∴当点 F 在 CE 上运动时，点 G 在 PK 上运动； 延长 EP 到点 Q，使 PQ=PE，连接 BQ 交 PK 于点 G， ∵PK 垂直平分 EQ，∴点 Q 与点 E 关于直线 PK 对称， ∵两点之间，线段最短，∴此时 GE+GB=GQ+GB=BQ 最小， ∵BE 为定值，∴此时 GE+GB+BE 即△BEG 的周长最小； 作 DH⊥CE 于点 H，则∠DHE=∠DHC=90°， ∵∠ECB=∠EBC=45°，∴∠HED=∠ECB=45°， ∴∠HDE=45°=∠HED，∴DH=EH，∴DH 2 +EH 2 =2DH 2 =DE 2 =（√2） 2 ， ∴DH=EH=1；∴CH=√CD2 − 𝐷𝐻2=√(√5)2 − 12=2， ∴BE=CE=EH+CH=1+2=3，∴EQ=2PE=2BE=6， ∵∠BEQ=90°，∴BQ=√32 + 62=3√5，∴GE+GB+BE=3√5+3， ∴△BEG 周长的最小值为 3√5+3． 冲刺小练习 17：折线段最值－－－将军饮马问题（提高型） 知识要点：利用全等来转移线段，化折为直 1.如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，点 E、F 分别为边 AB、CD 上的动点，且 AE=CF，则 BF+CE 的最小值为 ． 【解】如图，连接 DE，∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB=CD， ∵AE=CF，∴BE=DF，∴四边形 BEDF 是平行四边形，∴DE=BF， 要求 BF+CE 的最小值，即求 DE+CE 的最小值， 作 D 点关于 AB 的对称点 D′，连接 D′C 交 AB 于 E， 则 DE+CE=D′E+CE=CD′的值最小， ∵AB=2，AD=3，∴CD=AB=2，DD′=2AD=6， ∴CD′=√DD′ 2 + CD2=√62 + 22=2√10，即 BF+CE 的最小值为 2√10， 故答案为：2√10． 2.如图，菱形 ABCD 的边长为 1，∠ABC=60°．E，F 分别是 BC，BD 上的动点， 且 CE=DF，则 AE+AF 的最小值为 ． 【解】如图，连接 AC，过点 C 作 CT⊥CA，使得 CT=AD=1，连接 AT． ∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB=CB=CD=AD，∠ABC=∠ADC=60°，∠ADB= 1 2 ∠ ADC=3