冲刺小练习16：折线段最值一将军饮马问题(基础型)-2023-2024学年中考数学压轴模块冲刺专项练习

33 冲刺小练习 16：折线段最值－－－将军饮马问题（基础型） ➢ 图态剖析 “两定一动型”－－－－－－两个定点+一个动点 如图，A，B是直线 L同侧的两个定点，在直线 L上求作一点 P，使 PA+PB 的值最小 口诀：一对称、二连接、三计算 【小结】化折为直，两点线之间，线段最短 ➢ 典型练习 1.如图 1，在△ABC 中，已知 BC=5，S△ ABC=6，∠C=30°，EF 垂直平分 BC，点 P 为直线 EF 上一动点，则 AP+BP 的最小值是 ． 图 1 图 2 2.如图 2，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，点 D 是 BC 上一动 点，以 BD 为边在 BC 的右侧作等边△BDE，F 是 DE 的中点，连接 AF，CF，则 AF+CF 的最小值是 ． 3.如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是 AB 边上一动点，连接 ED，将 ED 绕点 E 顺时针旋转 90°到 EF，连接 DF，CF，则 DF+CF 的最小值是 ． 34 4.如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=8，BC=10，折叠纸片的一边 AD，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处，AE 为折痕．请回答下列问题： （1）AF= ； （2）试求线段 DE 的长度； （3）若点 P 为线段 AE 上的一个动点，连接 BP 和 FP，则线段 BP＋FP 的最小 值是 ． 5.如图，在▱ABCD 中，点 E 是 AD 边上一点，连接 BE、CE，BE=CE，BE⊥CE，点 F 是 EC 上一动点，连接 BF． （1）如图 1，若点 F 是 EC 的中点，BF=√10，求▱ABCD 的面积； （2）如图 2，当 BF⊥AB 时，连接 DF，求证：AB+DF=BF； （3）如图 3，以 BF 为直角边作等腰 Rt△FBG，∠FBG=90°，连接 GE，若 DE=√2，CD=√5，当点 F 在运动过程中，请直接写出△BEG 周长的最小值． ∴BH= 1 2 BC， ∴BH= 1 2 AB， ∵CD⊥AB， ∴BD= 1 2 AB， ∴BH=BD， ∵△ABC 和△BMN 是等边三角形， ∴BM=BN，∠ABC=∠MBN=60°， ∴∠DBM+∠MBH=∠HBN+∠MBH， ∴∠DBM=∠HBN， ∴△DBM≌△HBN（SAS）， ∴HN=DM，∠BHN=∠BDM=90°， ∴NH⊥BC， 又点 M 在 C 处时，HN=CD= 3√3 2 ， 点 M 在 D 处时，点 N 与点 H 重合． ∴点 N 所经过的路径的长=CD= 3√3 2 ； 冲刺小练习 16：折线段最值－－－将军饮马问题（基础型） ➢ 图态剖析 “两定一动型”－－－－－－两个定点+一个动点 如图，A，B是直线 L同侧的两个定点，在直线 L上求作一点 P，使 PA+PB 的值最小 口诀：一对称、二连接、三计算 【小结】化折为直，两点线之间，线段最短 ➢ 典型练习 1.如图，在△ABC 中，已知 BC=5，S△ ABC=6，∠C=30°，EF 垂直平分 BC，点 P 为 直线 EF 上一动点，则 AP+BP 的最小值是 ． 【解】如图，连接 PC，过点 A 作 AH⊥BC 于 H． ∵EF 垂直平分 BC，∴B、C 关于 EF 对称，∴PB=PC， ∵PA+PB=PA+PC≥AC，∴PA+PB 的最小值为线段 AC 的长， ∵𝑆△ABC= 1 2 •BC•AH=6，∴AH= 12 5 ，∵∠ACB=30°，∴AC=2AH= 24 5 ， ∴PA+PB 的最小值为 24 5 ，故答案为： 24 5 ． 2.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，点 D 是 BC 上一动 点，以 BD 为边在 BC 的右侧作等边△BDE，F 是 DE 的中点，连接 AF，CF，则 AF+CF 的最小值是 ． 【解】如图，以 BC 为边作等边三角形 BCG，连接 FG，AG， 作 GH⊥AC 交 AC 的延长线于 H， ∵△BDE 和△BCG 是等边三角形，∴DC=EG，∴∠FDC=∠FEG=120°， ∵DF=EF，∴△DFC≌△EFG（SAS），∴FC=FG， ∴在点 D 的运动过程中，AF+FC=AF+FG，而 AF+FG≥AG， ∴当 F 点移动到 AG 上时，即