冲刺小练习15：几何问题中的夹角定位法-2023-2024学年中考数学压轴模块冲刺专项练习

31 冲刺小练习 15：几何问题中的夹角定位法 ➢ 知识指引 初中阶段的动点轨迹问题一般多为直线型轨迹问题或圆弧型动点轨迹，如何准确确定动点 所在的轨迹为难点，下面我们将利用“夹角定位法”来进行确定动点产生的直线轨迹的位 置 ➢ 知识补充：“夹角定位法” 所谓的 “夹角定位法” 是指：在平面内，过定点并且与定直线的夹角为定值的点在直线 上运动，如图，已知直线 1 与定点 A， 动点 B运动的轨迹为直线 AB，当直线 AB与直线 L 的夹角α一定时，则动点 B的运动轨迹线即为定直线 AB . ➢ 瓜豆旋转型构图图态剖析 此处:∠POA为定角，且 𝑂𝐴 𝑂𝑃 为定值， ➢ 典型练习 1. 如图 1，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，点 P 是直线 AB 上一动点，连 接 CP，将线段 CP 绕点 C 逆时针旋转 90°得到线段 CD，点 M 是 BC 的中点，连 接 DM，DP．在点 P 的运动过程中，线段 DM 的最小值为 ． 图 1 图 2 2.如图 2，正方形 ABCD 的边长为 4，∠BCM=30°，点 E 是直线 CM 上一个动点， 连接 BE，线段 BE 绕点 B 顺时针旋转 45°得到 BF，连接 DF，则线段 DF 长度的 最小值等于 ． 32 3.如图 3，在矩形 ABCD 中，AB=7，BC=7√3，点 P 在线段 BC 上运动（含 B、C 两 点），连接 AP，将线段 AP 绕着点 A 逆时针旋转 60°得到 AQ，连接 DQ，则线段 DQ 的最小值为 图 3 图 4 4．（2022•广州）如图 4，在矩形 ABCD 中，BC=2AB，点 P 为边 AD 上的一个动点， 线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60°得到线段 BP′，连接 PP′，CP′．当点 P′落在 边 BC 上时，∠PP′C 的度数为 ；当线段 CP′的长度最小时，∠PP′C 的 度数为 ． 5.（2021•连云港）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． （1）△ABC 是边长为 3 的等边三角形，E 是边 AC 上的一点，且 AE=1，小亮以 BE 为边作等边三角形 BEF，如图 1．求 CF 的长； （2）△ABC 是边长为 3 的等边三角形，E 是边 AC 上的一个动点，小亮以 BE 为边 作等边三角形 BEF，如图 2．在点 E 从点 C 到点 A 的运动过程中，求点 F 所经过 的路径长； （3）△ABC 是边长为 3 的等边三角形，M 是高 CD 上的一个动点，小亮以 BM 为边 作等边三角形 BMN，如图 3．在点 M 从点 C 到点 D 的运动过程中，求点 N 所经过 的路径长 ∵∠BCD=90°， ∴∠ECA+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD， 在△ECB 和△ACD 中，{ CE＝AC， ∠ECB＝∠ACD， BC＝CD， ∴△ECB≌△ACD（SAS），∴BE=AD， ∴当 AD 取得最大值时，BE 也取得最大值，∵BE≤AE+AB， ∴当且仅当 E、A、B 三点共线时，BE=AE+AB， ∴当 AD 取得最大值时，E、A、B 三点共线， ∵△ACE 是等腰直角三角形，∴∠CAE=45°， ∠CAB=180°－∠CAE=180°－45°=135°， ∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC= 1 2 （180°－∠CAB）= 1 2 （180°－135°）=22.5°， ∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=22.5°+90°=112.5°，故答案为：112.5°． 冲刺小练习 15：几何问题中的夹角定位法 ➢ 知识指引 初中阶段的动点轨迹问题一般多为直线型轨迹问题或圆弧型动点轨迹，如何准确确定动点 所在的轨迹为难点，下面我们将利用“夹角定位法”来进行确定动点产生的直线轨迹的位 置 ➢ 知识补充：“夹角定位法” 所谓的 “夹角定位法” 是指：在平面内，过定点并且与定直线的夹角为定值的点在直线 上运动，如图，已知直线 1 与定点 A， 动点 B运动的轨迹为直线 AB，当直线 AB与直线 L 的夹角α一定时，则动点 B的运动轨迹线即为定直线 AB . ➢ 瓜豆旋转型构图图态剖析 此处:∠POA为定角，且 𝑂𝐴 𝑂𝑃 为定值， ➢ 典型练习 1. 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC