冲刺小练习14：单线段最值—构造全等结合三边关系求线段最值-2023-2024学年中考数学压轴模块冲刺专项练习

29 冲刺小练习 14：单线段最值－－构造全等结合三边关系求线段最值 ➢ 手拉手旋转全等构图 ➢ 图态剖析 必要条件： 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ 是定值）． 【解题策略】结合已知定长线段，利用共点等长线段构造全等转移线段，结合三角形的三 边关系，找出最值时的特殊位置，处理线段最值问题. ➢ 典型练习 类型一:构造全等处理线段的最小值 1.如图，在正方形 ABCD 中，AB=4，O 是 BC 边的中点，点 E 是正方形内一动点， OE=2，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90°得 DF，连接 AE、CF．则线段 OF 长的最小值为 ． 3.如图，已知 AB=6，点 O 在线段 AB 上，AO=2，⊙O 的半径为 1．点 P 是⊙O 上一 动点，以 BP 为一边作等边△BPQ，则 AQ 的最小值为 ． 30 类型二:构造全等处理线段的最大值 1．如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°,AC=BC 点 P 为△ABC 外一点，CP=√2， BP=3，则 AP 的最大值是 ． 图 1 图 2 2.如图 2，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，3），P点是以点 A为圆心、2为半径的圆 上的任意动点，以 OP 为直角边作等腰直角△OPQ，且点 Q在第二象限，求 AQ的最大值与最 小的和为 ． 3. 问题背景：如图 1，点 C 为线段 AB 外一动点，且 AB=AC=2，若 BC=CD，∠ BCD=60°，连接 AD，求 AD 的最大值． 解决方法：以 AC 为边作等边△ACE，连接 BE，推出 BE=AD，当点 E 在 BA 的延长 线上时，线段 AD 取得最大值 4． 问题解决：如图 2，点 C 为线段 AB 外一动点，且 AB=AC=2，若 BC=CD，∠BCD=90°， 连接 AD，当 AD 取得最大值时，∠ACD 的度数为 ． ∴AC=√BC2 − 𝐴𝐵2＝√（4√3） 2 − 42＝4√2，∵AG= 1 2 AB＝2， ∴CG＝√𝐴𝐶2 + 𝐴𝐺2＝√（4√2） 2 + 22＝6， ∵CF≥CG－FG， ∴当 C、F、G 三点共线时，CF=CG－FG 的值最小，为 CF=6－2=4， 故 CF 的最小值为 4． 冲刺小练习 14：单线段最值－－构造全等结合三边关系求线段最值 ➢ 图态剖析 【解题策略】结合已知定长线段，利用共点等长线段构造全等转移线段，结合三角形的三 边关系，找出最值时的特殊位置，处理线段最值问题. ➢ 典型练习 类型一:构造全等处理线段的最小值 1.如图，在正方形 ABCD 中，AB=4，O 是 BC 边的中点，点 E 是正方形内一动点， OE=2，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90°得 DF，连接 AE、CF．则线段 OF 长的最小值为 ． 【解】如图，连接 DO，将线段 DO 绕点 D 逆时针旋转 90°得 DM，连接 OF，FM， OM， ∵∠EDF=∠ODM=90°，∴∠EDO=∠FDM， 在△EDO 与 FDM 中，{ DE＝DF， ∠EDO＝∠FDM， DO＝DM， ∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM=OE=2， ∵正方形 ABCD 中，AB=4，O 是 BC 边的中点，∴OC=2，∴OD=√42 + 22=2√5， ∴OM=√（2√5） 2 +（2√5） 2 =2√10， ∵OF+MF≥OM，∴OF≥2√10－2，∴线段 OF 长的最小值为 2√10－2． 故答案为：2√10－2． 3.如图，已知 AB=6，点 O 在线段 AB 上，AO=2，⊙O 的半径为 1．点 P 是⊙O 上一 动点，以 BP 为一边作等边△BPQ，则 AQ 的最小值为 ． 【解】如图，以 BO 为边作等边△BOC，连接 CQ，AC， ∵△BOC 和△BPQ 都是等边三角形， ∴∠OBC=∠PBQ，OB=BC，BP=BQ，∴∠OBP=∠CBQ， 在△OBP 和△CBQ 中，{ OB＝0C， ∠OBP＝∠CBQ， BP＝BQ， ∴△OBP≌△CBQ（SAS）， ∴OP=CQ=1，∵AB=6，AO=2，∴OB=4，∴点 Q 在以 C 为圆心，半径为 1 的圆上运 动, ∵CH⊥OB 于 H，则 OH=2，∴CH=√3OH=2√