冲刺小练习13：单线段最值一利用三边关系求线段的最小值-2023-2024学年中考数学压轴模块冲刺专项练习

27 冲刺小练习 13：单线段最值－－－利用三边关系求线段的最小值 ➢ 图态剖析 如图，在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即|𝑎 − 𝑏| ≤ 𝑐 ≤ 𝑎 + 𝑏，当 A，B，C三点共线时，c的最大值为 a＋b，最小值为|𝑎 − 𝑏|. 【解题策略】结合已知定长线段，利用三角形的三边关系，找出最大值时的特殊位置，线 段之差最大问题. ➢ 典型练习 1.如图 1，在平面直角坐标系中，C（0，4），A（3，0），⊙A 半径为 2，P 为⊙A 上任意一点，E 是 PC 的中点，则 OE 的最小值是（ ）. A．1 B． 3 2 C．2 D．√2 图 1 图 2 2.（2023•路桥区校级二模）如图 2，扇形 AOB 中，∠AOB=90°，半径为 8，点 C 是 OB 中点，点 D 为𝐴?̂?上一点，CD 绕点 C 逆时针旋转 90°得到 CE，则 AE 的最 小值是 ． 3.如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=4．点 D 是平面内一点，CD=2，连 接 BD，点 M 是线段 BD 的中点，连接 AM，则 AM 的最小值为 ． 28 4.（2022•承德二模）如图，在等边△ABC 中，AB=2√3，点 D 在△ABC 内部或 其边上，AD=2，以 AD 为边向右作等边△ADE，连接 CD，CE． （1）CE 的最小值为 ； （2）当 ED 的延长线经过点 B 时，∠DEC= ． 5.如图，△ABC 内接于⊙O，BC 为⊙O 的直径，D 在弧 AC 上，AC 与 BD 相交于点 E． （1）若 AC=BD，求证：EA=ED； （2）若 AB=4，BC=4√3，AF⊥BD，垂足为 F，求 CF 的最小值． 同法可证，GB=GA1，设 GB=GA1=x，则有 x2=32+（4-x） 2， 解得 x= 25 8 ，∴BG= 25 8 ，AG=5- 25 8 = 15 8 ， ∵GM∥BC，∴ 𝐴𝐺 𝐴𝐵 = 𝐴𝑀 𝐴𝐶 ，∴ 15 8 5 = 𝐴𝑀 4 ，∴AM= 3 2 ， ∵GA=GH，GM⊥AH，∴AM=HM，∴AH=3， ∴CH=AC-AM=1． 综上所述，满足条件的 CH 的值为√10-1 或 1． （3）如图 3 中，取 AB 的中点 J，连接 BM，CJ， JN． ∵AJ=BJ，∠ACB=90°，∴CJ= 1 2 AB= 5 2 ， ∵BC1=BC=3，MC1=MA1=2，∠BC1M=90°， ∴BM=√𝐶1𝑀2 + 𝐶1𝐵2=√32 + 22=√13， ∵AJ=BJ，AN=NM，∴ JN= 1 2 BM= √13 2 ， ∵CN≤CJ+JN，∴CN≤ 5+√13 2 ，∴CN 的最大值为 5+√13 2 ． 冲刺小练习 13：单线段最值－－－利用三边关系求线段的最小值 ➢ 图态剖析 如图，在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即|𝑎 − 𝑏| ≤ 𝑐 ≤ 𝑎 + 𝑏，当 A，B，C三点共线时，c的最大值为 a＋b，最小值为|𝑎 − 𝑏|. 【解题策略】结合已知定长线段，利用三角形的三边关系，找出最大值时的特殊位置，线 段之差最大问题. ➢ 典型练习 1.如图，在平面直角坐标系中，C（0，4），A（3，0），⊙A 半径为 2，P 为⊙A 上 任意一点，E 是 PC 的中点，则 OE 的最小值是（ ）. A．1 B． 3 2 C．2 D．√2 【解】如图，连接 AC，取 AC 的中点 H，连接 EH，OH． ∵CE=EP，CH=AH，∴EH= 1 2 PA=1，∴点 E 的运动轨迹是以 H 为圆心半径为 1 的圆， ∵C（0，4），A（3，0），∴H（1.5，2），∴OH=√12 + 1.52=2.5， ∴OE 的最小值=OH－EH=2.5－1=1.5，故选：B. 2.（2023•路桥区校级二模）如图，扇形 AOB 中，∠AOB=90°，半径为 8，点 C 是 OB 中点，点 D 为𝐴?̂?上一点，CD 绕点 C 逆时针旋转 90°得到 CE，则 AE 的最 小值是 ． 解：如图，连 OD，以 OC 为边向下作正方形 OCTH，连 AT，ET． ∵OA=OB=8，OC=C