冲刺小练习12：单绘段最值一利用三边关系求线段的最大值-2023-2024学年中考数学压轴模块冲刺专项练习

25 冲刺小练习 12：单线段最值－－利用三边关系求线段的最大值 ➢ 图态剖析 如图，在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即|𝑎 − 𝑏| ≤ 𝑐 ≤ 𝑎 + 𝑏， 当 A，B，C 三点共线时，c 的最大值为 a＋b，最小值为|𝑎 − 𝑏|. ➢ 模型解读 问题：在直线 l上找一点 P，使得 PA PB− 的值最大 解析：连接 AB，并延长与 1 交点即为点 P. 证明：如图，根据△ABP ' 三边关系，BP ' -AP ' ＜ AB，即 P ' B - P ' A＜ PB - PA 【解题策略】结合已知定长线段，利用三角形的三边关系，找出最大值时的特殊位置，线 段之差最大问题. ➢ 典型练习 1.如图 1，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点 C逆时针旋转得到△A'B'C， M 是 BC 的中点，P 是 A'B'的中点，连接 PM．若 BC=4，∠BAC=30°，则线段 PM 的 最大值是 ． 图 1 图 2 图 3 2.如图 2，将边长为 2 的正方形 ABCD 绕顶点 C 逆时针旋转得到正方形 A′B′C′D′，P 是 CD 的中点，Q 是对角线 B′D′的中点，则旋转过程中 PQ 的 最大值为 3.如图 3，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点 D 是以点 A 为圆心、4 为半径的圆上一点，连接 BD，点 M 为 BD 中点，则线段 CM 长度的最大值为 ． 26 4.（2022•大名县三模）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，CB=2，将△ACB 绕点 C 按逆时针方向旋转得到△DCE．连接 DA、BE，直线 DA、BE 交于点 F，连接 CF． （1）DA 与 EB 的等量关系是： ； （2）在旋转过程中，线段 CF 的最大值是 ． 5.如图 1，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC 绕点 B 逆时针旋 转一定的角度 α 得到△A1BC1． （1）若 α=90°，则 AA1 的长为 ． （2）如图 2，若 0°＜α＜90°，直线 A1C1 分别交 AB，AC 于点 G，H，当△ AGH 为等腰三角形时，求 CH 的长． （3）如图 3，若 0°＜α＜360°，M 为边 A1C1 的中点，N 为 AM 的中点，请直接 写出 CN 的最大值． 在 Rt△AED 中，点 O 是斜边 AD 的中点， ∴OE=OD= 1 2 AD= √2 2 AC= √2 2 ×2＝√2，∴OQ=√2OE=√2×√2＝2， 在△OED 和△QEP 中，{ OE＝QE， ∠OED＝∠QEP DE＝PE， ，∴△OED≌△QEP（SAS）， ∴PQ=OD=√2．∵OP≤OQ+PQ=2+√2， 当且仅当 O、P、Q 三点共线时，OP 的最大值是 2+√2． 冲刺小练习 12：单线段最值－－利用三边关系求线段的最大值 ➢ 图态剖析 如图，在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即|𝑎 − 𝑏| ≤ 𝑐 ≤ 𝑎 + 𝑏， 当 A，B，C 三点共线时，c 的最大值为 a＋b，最小值为|𝑎 − 𝑏|. ➢ 模型解读 问题：在直线 l上找一点 P，使得 PA PB− 的值最大 解析：连接 AB，并延长与 1 交点即为点 P. 证明：如图，根据△ABP ' 三边关系，BP ' -AP ' ＜ AB，即 P ' B - P ' A＜ PB - PA 【解题策略】结合已知定长线段，利用三角形的三边关系，找出最大值时的特殊位置，线 段之差最大问题. ➢ 典型练习 1.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，将△ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到△A'B'C， M 是 BC 的中点，P 是 A'B'的中点，连接 PM．若 BC=4，∠BAC=30°，则线段 PM 的 最大值是 ． 【解】如图，连接 PC， 在 Rt△ABC 中，∠A=30°，BC=4，∴AB=8， 根据旋转不变性可知，A′B′=AB=8，∴A′P=PB′=PC′，∴PC= 1 2 A′B′=4， ∵CM=BM=2，又∵PM≤PC+CM，即 PM≤6， ∴PM 的最大值为 6（此时 P、C、M 共线）． 2.如图，将边长为 2的正方形 ABCD绕顶点 C逆时针旋转得到正方形 A′B′C′D′， P 是 CD 的中点，Q 是对角线 B′D