冲刺小练习9：利用共点等长旋转构图来处理问题-2023-2024学年中考数学压轴模块冲刺专项练习

19 冲刺小练习 9：利用共点等长（三爪图）旋转构图来处理问题 ➢ 知识提点 题目中遇到公共端点的三爪(多)图时，旋转是它的克星，通过旋转把分散的条 件(线段或角)整合在一个三角形内解决。旋转时明确旋转中心和旋转角。 ➢ 基本三爪图构图 （60度 ） （90度） （一般等腰三角形） ➢ 解决共顶点等线段（自旋转模型）构图问题 ⒈从旋转出发，找基本图形和基本结论 ⒉将不确定的元素尽可能的转化为确定的元素 ⒊利用熟悉的三边关系和垂线段最短这类熟悉的结论来处理几何最值问题 ➢ 典型练习 1.如图 1，已知△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ABC 的 顶点 A 在△ECD 的斜边上，若 AE=√3，AD=√7，则 AC 的长为 ． 图 1 图 2 图 3 2.如图 2，AB=AC，∠CAB=90°，∠ADC=45°，AD=1，CD=3，则 BD= 3.如图 3，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=6，点 D 为 AC 的中点，点 E 是 AB 边上的一点，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 顺时针旋转 90°，得到 DF，连接 AF， EF，若 BE＝2√2，则 AF 的长为 ． 4.（2022 秋•江夏区校级月考）如图，若∠ACE=∠AEC=∠ADC=45°，∠ACD－ ∠AED=60°，DC=3，则 DE 的长为 ． 20 5.如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC，∠ABC=90°，∠ADB=135°，AD=1，CD=5， 则线段 BD 的长度是 ． 6.（ 2023•历 下 区 二 模 ） 如 图 1， △ABC 和 △DEB 都 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， ∠BAC=∠BDE=90°，将△BDE 绕点 B 逆时针旋转 α（0＜α＜360），连接 EC，取 EC 中点 F，连接 AF，DF． （1）如图 1，当点 D 落在 BC 边上，点 E 落在 AB 边上时，线段 AF 和线段 DF 的 位置关系是 ，数量关系是 ； （2）如图 2，当点 D 落在△ABC 内部时，（1）的结论是否仍然成立？如果成立， 请写出证明过程；如果不成立，请说明理由． 冲刺小练习 9：利用共点等长（三爪图）旋转构图来处理问题 ➢ 知识提点 题目中遇到公共端点的三爪(多)图时，旋转是它的克星，通过旋转把分散的条 件(线段或角)整合在一个三角形内解决。旋转时明确旋转中心和旋转角。 ➢ 基本三爪图构图 （60度 ） （90度） （一般等腰三角形） ➢ 解决共顶点等线段（自旋转模型）构图问题 ⒈从旋转出发，找基本图形和基本结论 ⒉将不确定的元素尽可能的转化为确定的元素 ⒊利用熟悉的三边关系和垂线段最短这类熟悉的结论来处理几何最值问题 ➢ 典型练习 1.如图，已知△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ABC 的顶 点 A 在△ECD 的斜边上，若 AE=√3，AD=√7，则 AC 的长为 ． 解：如图，连接 BD， ∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形， ∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°，∠CED=∠EDC=45°， ∴∠ACE=∠DCB，且 CE=CD，AC=BC，∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD=√3，∠CED=∠CDB=45°， ∵∠ADB=∠EDC+∠CDB，∴∠ADB=90°，∴AB 2 =AD 2 +DB 2 =3+7=10， ∴AB=√10，∵AC 2 +BC 2 =AB 2 ，∴AC=BC=√5， 故答案为√5． 2.如图，AB=AC，∠CAB=90°，∠ADC=45°，AD=1，CD=3，则 BD= 解：如图，过点 A 作 AE⊥AD 交 CD 于 E，连接 BE． ∵∠DAE=90°，∠ADE=45°，∴∠ADE=∠AED=45°， ∴AE=AD=1，DE=√2，∵∠DAE=∠BAC=90°，∴∠BAE=∠CAD， ∵AB=AC，∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴CD=BE=3，∠AEB=∠ADC=45°，∴∠BED=90°， ∴BD=√BE2 + 𝐷𝐸2=√32 + (√2)2=√11． 3.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=6，点 D 为 AC